本日の実習

としひこ, せいこ, まさひこ, なおこ, いよ, よしおの6人が ある試験で, 3点, 4点, 8点, 10点, 7点, 5点を取ったとします. これらのデータをもとに, 平均点と各人の偏差値を計算します.

偏差値は, 素点を $x$とすると, 標準偏差$\sigma$と平均$\bar{x}$を使って次の式で定義されます.

$$\frac{ x - \bar{x}}{\sigma}\times 10 + 50$$

標準偏差は字から推測されるように, 偏差(平均値からの偏り)の平均です. 正確には次のように, 分散の平方根として定義されます: $n$人の人の点数が, $x_1, x_2, \ldots, x_n$とし, 平均を$\bar{x}$, 分散を$V$, 標準偏差を$\sigma$とすると,

$$\begin{eqnarray*} \bar{x} &=& \frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\\ V &=& \frac{ (x_1 - \... ...ft( \frac{x_1+\cdots +x_n }{n} \right)^2\\ \sigma &=& \sqrt{V} \end{eqnarray*}$$

となります. 分散の式の 2番目の等式は簡単に証明できるので, 証明してみて下さい.

なお, 偏差値は受験用語で数学用語ではありませんが, 分散，標準偏差は, 医学や工学など実験系はもちろん, 経済学, 社会学, 教育学などデータ分析をするときには 必要とされる基本用語です. 定義も簡単なので, この機会に覚えて下さい.

次の指示に従い, 図1の表を完成させます.

1. 図1にあるデータおよび項目名を入力して下さい.
2. 次に, 関数AVERAGEを使用して, セルC10に 6人の成績の平均値を計算する 式を書きます.
3. D4に「としひこ」の得点(C4)と6人の平均点(C10)の差を 式で入力します.

この時,「=C4-C10」と入力してしまうと, D5にこの式をコピーした時に「=C5-C11」が入力され, 本来求める値とは異なる計算結果になります. (このようなセルの参照を「相対参照」といいます.)

これに対して, 平均点の記述されたセル(C10)のように どのセルからもそのセルの値を共通に利用したい場合, 「絶対参照」という方法を用います. 絶対参照をするためには, セルの行番号と列のアルファベットの前に, ドル記号($)を付けます. 例えば, セルC10を絶対参照するためには, $C$10とします. 他にも「複合参照」という方法がありますが, こちらは自習して下さい.

絶対参照を利用して, 表を完成させます.

1. D4〜D9に各人の得点(C列)と平均の差を式で入力します.
2. E4〜E9にはD列の2乗を式で入力します.
3. F4〜F9にはC列の2乗を式で入力します.
4. F10には「各人の得点の2乗」の平均を入力します. (F4〜F9の平均を計算する式を入力.)
5. C11に6人の成績の分散を入力します. (分散は「2乗の平均-平均の2乗」ですから, F10からC10の2乗を引いた式を書くことになります.)
6. E10にE4〜E9の平均を計算する式を入力します. (この値は「各人の得点から平均点を引いたもの」の2乗ですから, 分散の定義式です. C11の値と一致することを確認して下さい.)
7. C12 に標準偏差を入力します. 平方根を求めるには, SQRTという関数を利用します.)
8. G4〜G9に各人の偏差値を計算する式を入力します.
9. D10にD4〜D9の平均を計算する式を書きます. (この値は，理論上0と表示される筈ですが,$x.xxxxE-10$ のように表示されることがあります. これは， $x.xxxx\times 10^{-10}$の意味で0に非常に近い値です. 小数の計算においては, 計算機は無限小数や非常に小さい数を 途中で値を四捨五入するため理論値との誤差を生じることがあります.)

終わったらファイルを閉じます. (後で使用することはないので, 保存しなくても構いません. ひき続いて Excelを使うので,Excel は終了しないで下さい.)