集中講義の記録

日常的に用いられている、音楽や映像のデジタルコピー、メールのやりとりなどの背景にある情報理論について丁重に解説をする。特に、エントロピー、シャノンの第一定理、シャノンの第二定理に焦点を当てる。時間があれば、講義担当者が取り組んでいる量子情報理論について紹介し、21世紀のセキュリティ問題に触れる。

20世紀末，理論物理学からの要請で古典的な微分幾何学において 中心的な研究対象である微分可能多様体の概念を拡張する必要に迫られ， 微分空間（diffological space）の概念がChen や Souriau らによって提唱された． 本講義では微分空間とその間の「滑らかな写像(smooth map)」のなす圏を， 新しい位相幾何学を展開する場として捉える． 本講義では，Zemmour らによって整備された微分空間の基礎理論から始めて， 代数的位相幾何学における古典的な結果である「マイヤー−ビートリス完全系列」の 証明を目標に，微分空間の圏におけるホモロジー論・コホモロジー論について論じる．

本集中講義では、2項モデルと呼ばれる確率モデルを用いた、金融商品の価格付けについて解説する。 本講義で扱う2項モデルは非常に簡単なモデルであるが、価格付けの考え方は、より複雑なモデルになっても同様である。

和公式とは一般の有限数列や無限数列の和を調べる道具である。この講義では、オイラーの和公式、アーベルの和公式、ポアソンの和公式、セルバーグの跡公式といったいくつかの重要な和公式について学ぶ。また、これらの和公式の応用として得られる、発散級数の評価、素数分布、いくつかのゼータ関数の性質についても解説する予定である。

本集中講義では、Rプログラミングに基づいて、金融証券投資や保険の実務分野に必要な確率過程および統計モデルを解説する。

超幾何型特殊函数に関する幾つかの基本的性質を，ねじれド・ラム理論を背景とした複素積分を通して理解する．具体的には以下の通り．

1. ガンマ函数，ベータ函数，ガウスの超幾何函数，および，これらの親戚筋を紹介したのち，ガウスの超幾何函数に関するモノドロミー表現と接続公式を導出する．その際，複素解析的な微分方程式に関する基本事項も復習する．そして，
2. 古典的な多変数超幾何型函数(アッペル，ローリッツェラ)とその積分表示の紹介，
3. ねじれサイクルの交叉数を用いた接続問題の解法を具体例に即した紹介，
4. 接続公式についての最近の話題の紹介，
5. モノドロミー表現についての最近の話題の紹介，
6. その他，超幾何型函数の積分に関する最近の話題から適宜取捨選択しつつ進める．

リーマン面は現代数学の入り口として優れた教材です。それは数学の多くの分野の交差点に位置するので， リーマン面の理論を学ぶことで解析学，幾何学，代数学などさまざまな分野における概念や手法を学ぶことができます。 リーマン面とはその上で複素関数論が展開できる曲面のことですが，リーマン面上にそもそも有理型関数が存在しなければ意味がありません。 この講義はリーマン面上の有理型関数の存在について最も基本的な定理であるリーマン・ロッホの定理の証明を目標とします。

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初回は 11月19日（木）5限で、Zoom を使用します。

数論に於いて重要な研究対象であるゼータ函数や$L$函数について基本的な事柄を講義します。 歴史的な順序に従つて、リーマンゼータ、デデキントゼータ、合同ゼータ、アルティン $L$，ヘッケ $L$，ハッセ=ヴェイユ $L$ 等を紹介し、様々な数論的対象に$L$函数が付随する様子を概観します。 時間が許せば、フェルマー予想の証明の鍵となつた「楕円曲線の $L$ ＝ 保型形式の $L$」といふ等式についても解説したいと思ひます。

群のコホモロジーは代数とトポロジーという数学の２つの分野にまたがるテーマです。群に対して分類空間と呼ばれる位相空間が自然に定まり群のコホモロジーはこの分類空間のコホモロジーとして捉えることができますが、群の代数的な性質が位相空間（分類空間）のコホモロジーとどのように関連しているかを理解すること、いろいろな群のコホモロジーを計算することは興味深い問題です。この講義では群の定義の復習からはじめて群のコホモロジーの定義し、群のコホモロジーの実際の計算を行います。

外積代数における不変式論についてお話しします。ざっくり言うと反可換な成分の行列の話です。Cayley-Hamiltonの定理の類似物など通常の可換な成分の行列の理論と似たところがいろいろあります。またAmitsur-Levitzki関係式（$n$次正方行列の$2n$個の積の交代和が$0$になるという関係式）などと結びつくのもおもしろいところです。これらを考える上で線型代数のDiagram表示（行列などを矢印で表す）が有用です。このDiagram表示の楽しさもお伝えしたいと思います。

有限鏡映群と有限鏡映群の一般化であるコクセター群は、代数と幾何の様々な分野に現れる重要な群です(すぐに思いつくだけでもルート系のワイル群、特異点論、不変式論、超平面配置、幾何学的群論などが挙げられます)。この講義では必要となる線形代数と群論の知識を復習しながら、有限鏡映群とコクセター群の代数と幾何について解説し、具体例を紹介していきたいと思います。

1. 直交変換と鏡映
2. 有限鏡映群の定義と例
3. ルート系
4. 有限鏡映群の表示とコクセター群
5. コクセター群の幾何

実数あるいは複素数の値をとるコンパクトハウスドルフ空間$X$上の連続関数の空間は解析学、特に関数解析学において基本的な役割を担う。$C(X)$と表記されるこの空間は、各点ごとの関数の和と定数によるスカラー倍によってベクトル空間になる。さらに、各点ごとの積で可換環になる。この講義では$X$として閉区間$[a,b]$から初めて、できるだけ初等的に$C(X)$の性質を解説する。ワイエルシュトラスの多項式近似定理、その一般化であるストーン＝ワイエルシュトラスの定理を紹介し、時間があればゲルファント＝ナイマルクの定理を紹介したい。

数には加減乗除という基本演算が備わっていますが，最も基本的な自然数(整数)は除法について閉じていない(演算結果が整数ではない)ため，その結果を表現するには何らかの工夫が必要となります。その工夫の1つは演算結果を商と余り(剰余)で表現することです。
剰余を考えることで自然数(整数)のいくつかの性質を捉えることができます。小学校で学んだ九九表を普段とは違った視点で眺めると，いくつかの規則性が見えてきます。また，5で割り切れない自然数を4乗した数を5で割ると必ず1余りますが，これはFermatの小定理です。あるいは，うまく選んだ2つの自然数の2乗の和はある自然数の2乗になります(ピタゴラス数)が，どんな自然数を2つ選んでも4乗の和はある自然数の4乗にはなりません。
自然数にまつわるこのような事柄をいくつか紹介します。

$(1+x)^n$ を $x$ で展開すると，その係数は組合せの数で表される．この二項定理とその拡張は，数学の様々な局面で重要な役割を演じる．この講義では，二項定理の拡張という観点から有限超幾何級数の様々な和公式を紹介する．時間の許す範囲で，$q$超幾何級数や楕円超幾何級数の和公式にも触れたい．

数については、正負による大小関係、絶対値を用いた大小関係がありいろいろな不等式が知られています。中でも有名なのは、相加相乗平均の不等式です。
この講義での対象は、数ではなく行列です。行列の正値性による大小関係、絶対値の代わりにノルムを用いた大小関係を考えます。難しくいうとヒルベルト空間上の有界線形作用素に何らかの順序を定義して、その不等式を考えてみる。ですが、行列の話として考えて何も変わることはないので、行列で話 をします。
数と行列の大きな違いは掛け算の順序が交換可能ではないということです。行列から数への橋渡しは、固有値です。固有値がいろいろな場面で大事な働きをしていること は、様々な講義の中で聴いていることと思います。
したがって、この講義では、平均の話からはじめて、行列を数のように計算する方法、つまり関数解析学的な行列の見方、を説明して、どのようにして、行列の相加相乗平均の不等式などを証明するか、解説していきます。

多様体とは曲線や曲面の概念を一般の次元に拡張したものです。現代の幾何学において、最も重要な概念のひとつであるといってもよく、最近は多様体の教科書もいろいろと出ています。しかし，ある程度の実例を知らないと，抽象的な定義の有難みがなかなか実感できないように思います。
この講義では，できるだけ多くの多様体の例をあげ，それらに慣れていただきたいと思います。具体的には、$n$次元のユークリッド空間から $m$次元のユークリッド空間への写像による一点の逆像として得られる多様体がたくさんありますので，そのことについて説明をします。これは、解析学の講義に出てくる逆関数の定理の応用です。また、ユークリッド空間の中に入っていないような多様体として射影空間についても説明したいと思います。
以下の事柄を順に取り扱います。

1. 位相多様体の定義と例
2. 微分可能多様体の定義と例
3. 正則値定理とそれを使って得られる多様体の例
4. 射影空間
5. 接ベクトル、接空間、写像の微分

超幾何関数およびその多くの一般化はオイラー型の積分表示を有している。その積分表示から、ねじれホモロジー群をファイバーとする局所系とねじれコホモロジー群をファイバーとするベクトルバンドルが得られる。そして、ねじれホモロジー群とねじれコホモロジー群には、それぞれ交点形式が定義されている。
この講義では、これらの交点形式の具体的な計算方法を解説し、交点形式を利用してモノドロミー表現やパッフ形式の接続行列が得られることを紹介する。さらに、交点形式と積分の整合性より、ねじれ周期関係式が得られることを説明し、その具体例を紹介する。
各回の講義では、以下の話題を順に取り扱う。

1. 超幾何関数の基本性質
2. いくつかの超幾何関数の一般化
3. ねじれホモロジー群と局所系
4. モノドロミー表現
5. ねじれホモロジー群とベクトルバンドル
6. パッフ形式
7. ねじれ周期関係式

ラマヌジャングラフとは、グラフをネットワークとして見たときに（ある意味で）最良のものを与えるグラフである。それゆえグラフ理論や計算機科学など応用数学の分野において重宝されていたが、最近では数論、群論、幾何など純粋数学の分野でもその重要さが認識されている。この講義では、まずラマヌジャングラフの基本的な性質について説明し、その最初の明示的な例である Lubotzky, Phillips, Sarnak によって構成されたラマヌジャングラフの無限族について解説する。

線型微分方程式のモノドロミー行列は解の多価性を記述する重要な量である。モノドロミー行列を不変に保つような線型微分方程式の変形をモノドロミー保存変形といい、そこから重要な非線型微分方程式が現れる。この講義では、パデ近似(やパデ補間)を用いて、モノドロミー保存変形の方程式ならびにその特殊解の例を簡単に構成する方法について紹介する。なお、パデ近似は関数の有理関数による近似であるが、本方法の結果は近似ではなく厳密な結果である。
予定：1. パデ近似、2. 線型常微分方程式、3. モノドロミー保存変形、4. 離散系

Pfaffian（パフィアン）は偶数次交代行列に対して定義される多項式であり，偶数次交代行列の行列式はその Pfaffian の 2 乗に等しい．一方，一般の行列の行列式はパフィアンとしても表され，行列式に関する等式がパフィアンに関する等式から導かれることも多い．このように，パフィアンは行列式の特殊化とも一般化とも考えることができる．この講義では，Pfaffian の基本性質や Pfaffian に関するさまざまな等式について解説するとともに，組合せ論などへの応用を紹介する．

この講義では、ポアソン分布とポアソン過程から始めて、Levy 過程とそれを用いた確率積分、マルチンゲール理論、ジャンプ型確率微分方程式、確率解析(マリアバン解析)とその応用、について解説します。
【講義ノート】

学部１、２年生程度の微分積分、線形代数の知識のみを仮定して講義を進める。 ヒルベルト空間上の作用素の基本性質、$C^*$-環の定義と基本定理を紹介し 具体例として有向グラフより構成される$C^*$-環について解説する。

$0$と$1$の間の分母が$n$以下である既約分数を小さい順に並べたものを$n$次のファレイ数列という. ファレイ数列の基本的性質とその証明を述べる. また, ファレイ数列に対応する円の族である Ford circle を考え, これを利用してディオファントス近似で基本的な Hurwitz の定理を示す．