談話会の記録

楕円ルート系とは，特異点理論の研究に端を発して1985年に齋藤恭司氏によって導入された ルート系の拡張概念で『ヌル・ルートの方向が２つある』という特徴を持つ．この性質の ために，楕円ルート系は古典的な意味でのルート系の範疇に収まらない対象となる．例えば， 楕円ルート系に付随するワイル群（楕円ワイル群）はコクセター群にはならない．
楕円ルート系の分類は既に齋藤恭司氏自身の手により行われているが，同氏はその過程で ある制約条件を仮定しており，完全な形での分類は行われていなかった．講演者は最近， この制約条件を外した楕円ルート系の完全分類を行い，同時にその自己同型群を決定した （A. Fialowski氏・K. Iohara氏との共同研究）．講演では，この結果，および（筆者が考える） 結果の意味について，お話ししたい．
古典的なルート系が与えられると，それに付随してHecke代数，リー代数，量子包絡代数など さまざまな代数系が生み出される．こうしたストーリーを楕円ルート系に対して行う試みに ついても触れる予定である．

$A_i$, $B_i$ $(i=1, 2)$ を $C^*$-環（あるいは行列環）としたとき, 正値線形写像 $\varphi_1\colon A_i \to B_i$ $(i=1, 2)$ に対して、一般に $\varphi_1\otimes\varphi_2\colon A_1\otimes A_2 \to B_1\otimes B_2$ は正値線形写像にはならない。これに関連して、ある正値線形写像 $\psi\colon A_1\otimes A_2\to B_1\otimes B_2$ が, $\varphi_1\otimes\varphi_2\ge\psi$ を満たすとき（結果的に $\varphi_1\otimes\varphi_2$ は正値線形写像となる）、ある正値線形写像 $\omega\colon A_1\to B_1$ が存在して、$\psi=\omega\otimes\varphi_2$ を満たすとき、因数分解と呼び、これを満たす条件を考察する。応用として、量子情報理論で重要な概念であるエンタングルメントを探索する分解不可能な正値線形写像のレシピを解説する。

多様体のなす圏は微分空間の圏の中で充満部分圏をなし、特に重要な位置を占めている。 一方で自然に定義される滑らかなＣＷ複体は、そのままでは多様体を含まない。 しかし、両者とも de Rham の定理を満たし、大変良い微分空間である。 今回は、閉多様体に注目し、これを含む形で滑らかなＣＷ複体を定式化し、それらの満たす性質を調べた。

The usual language of algebraic geometry is not appropriate for Arithmetical geometry: addition is singular at the real prime. We developed two languages that overcome this problem: one replace rings by the collection of "vectors" or by bi-operads and another based on "matrices" or props. Once one understands the delicate commutativity condition one can proceed following Grothendieck footsteps exactly. The square matrices, when viewed up to conjugation, give us new commutative rings with Frobenius endomorphisms.

階数1の局所対称空間に対して定まるセルバーグゼータ関数について知られていることを概観し、階数2以上の場合への一般化の試みと数論的応用について述べる。

近年，ビット列の集合に対するある組合せ構造を用いた量子挿入／削除誤り訂正符号の構成法が提案された．本講演では，単一量子削除誤り訂正符号と単一量子挿入誤り訂正符号を構成するための組合せ構造をそれぞれ紹介し，それらの構成例を考察する．特に，その両方を満たすような系列的な構成を与える．（萩原学氏との共同研究を一部含む）

アッペルの超幾何函数$F_1, F_2, F_3, F_4$は，ガウスの超幾何函数の２変数版として知られている古典的な超幾何函数です．これらに関しては，$F_1$はランク3（単連結領域における局所的な解の次元が３ということ）の偏微分方程式系$E_1$をみたし，残りはランク4の偏微分方程式系$E_j\;(j=2,3,4)$をみたすこと，４つとも2重積分によるオイラー型の積分表示式をもつが，$F_1$だけは1重積分による表示を持つことなど，100年ほど前からの積み重ねで，いくつもの古典的結果が知られています．ところが，いちばんやさしそうな$F_1$の場合，特異点（$E_j$の特異集合の交点を便宜的に特異点と呼ぶことにします）の近傍における解の基本系の級数表示がどうなっているかという基礎的な問いかけに対しての明示的な答えは，殆ど知られてれていないという状況です．最近出版されたある文献にも明確に「知られていない」と書かれています．しかし，実際には，少なくともその部分的な解答が掲載されている文献は存在しています．ただ，$F_1$というやさしそうな函数だから『あとは同様』と思われているのが原因なのか，『同様な』表示が，いっこうに現れない時間が長く経過したことによって，明示的な表示が掲載されている文献の存在すら殆どの人から忘れ去られてしまっているようです．解の基本系についての認識がそのようなものですから，ましてや，それらを結び付ける接続公式については，不十分なままに放置され続けていたようです．今回は，これらの歴史的経緯を説明するとともに，解の基本系の明示式と，それらを結ぶ接続公式についての最終的な結果を紹介します．

体 $K$ 上のアーベル多様体 $A$ の Mordell-Weil群 $A(K)$ は、$K$ が素体上有限生成な体ならば有限生成である事がよく知られてゐる（Mordell-Weil の定理）。一方、例へば $K$ が有理数体 $\mathbb{Q}$ の時、$A(\mathbb{Q}^{\text{ab}})$ は無限階数であらうと予想されてをり（Frey-Jarden の予想）、これについて幾つかの結果が知られてゐる。この場合の「無限階数」とは「tensor $\mathbb{Q}$ したものが無限次元」の意味であるが、今回は「$K$ が大き過ぎなければ $A(K)$ や $A(K)/(\text{torsion})$ は可除部分群を含まない」といふ方向の結果を紹介する。（小関祥康氏との共同研究）

1990年代に Totaro は線形代数群の分類空間のチャウ環を定義し, チャウ環からコホモロジーへのサイクル写像を考えることにより1960年代初頭の Atiyah-Hirzebruch の整数係数 Hodge 予想の反例の構成を見直すことができることを示しました. この講演では線形代数群の分類空間のサイクル写像とこれに関連した最近の話題を紹介します.

行列環のテンソル積（高階の行列環）におけるCayley-Hamilton型の定理を用いて生成元の関係式が記述できる不変式環について話したい。これ自体は多項式を成分とする高階の行列環が舞台であり、一見特殊な設定のようだが、通常の多項式環の不変式論への応用もある。時間が許せば、Pfaffian版の高階のCayley-Hamilton定理と、それを用いて記述される不変式論にも触れたい。

カンドルは低次元トポロジーやHopf代数などの分野で研究されている比較的新しい代数系です。この講演ではカンドルの紹介から初めて、とくに$n$文字の互換全体からなるカンドルに対して、その随伴群が$n$文字の対称群とブレイド群の中間的な群になることや、対称群の中心拡大と関係することなどをお話ししたいと思います。

この講演では，伊藤雅彦氏（琉球大）との共同研究に基づいて，楕円超幾何積分に関する最近の研究の進展について報告する．特に，$BC_n$型ルート系に付随したSelberg型楕円超幾何積分を考察し，それによって定義される行列の行列式が，楕円ガンマ函数の積で明示的に表示できることを紹介する．

幾何平均、算術平均、調和平均に関係する作用素ノルム不等式が知られている。
日合、幸崎による証明は、上記のような平均をパラメータを持つ関数族で実現し、パラメータについて正定値関数を用いた順序を示すことで、定式化された。ここでは、日合、幸崎で用いられた関数族をさらに拡張して、その順序、つまり新たな作用素ノルム不等式を得る方法について解説する。

Edge detection has been widely used in medical image processing and automatic diagnosis. Some novel edge detection algorithms, based on the monogenic scale-space, are proposed by detecting points of local extrema in local amplitude, the local attenuation and modified differential phase congruency methods. The monogenic scale-space is obtained from a known image by Poisson and conjugate Poisson filtering. In mathematics, it is the Hardy space in the upper half-space. The boundary value of the monogenic scale-space representation is a monogenic image. In the monogenic scale-space, the definitions involving scale, such as local amplitude, local attenuation, local phase angle, local phase vector and local frequency (phase derivatives) are proposed. Using Clifford analysis, the relations between the local attenuation and the local phase vector are obtained. These study will be improved the understanding of image analysis in higher dimensional spaces. Experimental results are shown by using some typical images.

Askey-Wilson divided difference operator is found to be related to some $q$-special functions and orthogonal polynomials. We show that there is a complex function theory behind it, such as a Picard theorem specially for the operator. This follows from a full-fledged Nevanlinna theory with respect to the difference operator.

離散トーラスとは巡回群の直積に対して定義されるある Cayley グラフのことであり、これは自然に実トーラスの離散類似とみなすことができる。 本講演では、Chinta-Jorgenson-Karlsson らによって得られた熱核の理論を用いて、離散トーラスにおける（漸近公式ではない）素測地線定理を導く。 これは Lauricella の多変数超幾何多項式（Jacobi 多項式のある一般化）を用いて記述される。

We consider a symmetric random walk on the d-dimensional lattice in a random ergodic environment, where the random conductances are not necessarily uniformaly elliptic. We show that for almost all environment, the rescaled walk converges in law to a Brownian motion. Our proof relies both on analytical and probabilistic arguments, in particular the Harnack inequality.
This is a joint work with S. Andres and M. Slowik

First I will remind the definition of the plactic algebra introduced by A. Lascoux and M.-P. Schutzenberger in the 80's the last century. The main objective of my talk is to study decompositions of the Cauchy type kernels in the plactic algebra(s). I introduce certain polynomials which are common generalization of the (double) Schubert, Grothendieck Demazure and Stanly polynomials. Some unexpected connections with ASM and some classes of plane partitions, as well as with the dual RSK will be explained.

The Selberg integral is an important integral first evaluated by Selberg in 1944. Stanley found a combinatorial interpretation of the Selberg integral in terms of probability. In this talk we find a connection between the Selberg integral and shifted Young tableaux of staircase shape and standard Young tableaux of square shape. We define 'Young books' which are a generalization of both of these shifted and standard Young tableaux and find a formula for the number of Young books. This is joint work with Suho Oh.

Twenty years ago Okada established a remarkable set of identities relating weighted sums over half-turn alternating sign matrices (ASMs) to products taking the form of deformations of Weyl denominator formulae for Lie algebras $B_n$, $C_n$ and $D_n$. Shortly afterwards Simpson added another such identity to the list. It will be shown that various classes of ASMs are in bijective correspondence with certain sets of shifted tableaux, and that statistics on these ASMs may be expressed in terms of the entries in corresponding compass point matrices (CPMs). This then enables the Okada and Simpson identities to be expressed in terms of weighted sums over primed shifted tableaux. This offers the possibility of extending each of these identities, that originally involved a single parameter and a single shifted tableau shape, to more general identities involving both sequences of parameters and shapes specified by arbitrary partitions. It is conjectured that in each case an appropriate multi-parameter weighted sum can be expressed as a product of a deformed Weyl denominator and group character of the type first proved in the $A_n$ case by Tokuyma in 1988. The conjectured forms of the generalised Okada and Simpson identities will be given explicitly, along with an account of recent progress made in collaboration with Angèle Hamel in proving some of them.