シンプソンの公式の誤差

シンプソンの公式は, $f(x)$ が良い性質をもつ時, 台形公式より 正確な近似値を与える事が知られています.

$f(x)$ を 4 階連続微分可能な関数とし, $M$ を $f^{(4)}(x)$ の 閉区間 $[a,b]$ での最大値とします.
とおきます. 積分値と近似値の誤差を $h$ の関数と見て

$$\int_a^b f(x) dx - \frac{b-a}{6}(f(a)+f(b)+4f(\frac{a+b}{2})) = \int_{-h}^h k(x) dx - \frac{h}{3}(k(h)+k(-h)+4k(0)) = G(h)$$

とおきます. 上の式の 3 階微分を計算する事により,

$$G'''(h) = -\frac{h}{3}\{k'''(h) - k'''(-h)\}$$ (5)

が成立します. ここで平均値の定理より $c\in (-h, h)$ が存在して, となります. また,

$$\left\vert k^{(4)}(c)\right\vert = \left\vert f^{(4)}(c+\frac{a+b}{2})\right\vert \leq M$$

ですから

$$\left\vert G'''(h) \right\vert \leq \frac{2}{3} h^2 M$$

で, $G''(0) =0$ より,

$$\left\vert G''(h)\right\vert = \left\vert\int_0^h G'''(h)  dh... ...\vert dh \leq \int_0^h \frac{2}{3}h^2 M dh =\frac{2}{9}h^3 M$$

同様に $G'(0) = 0$ で上と同じような積分計算をすると,

$$\left\vert G'(h) \right\vert \leq \frac{1}{18} h^4 M$$

となり, さらにもう一度積分して誤差の評価は

$$\left\vert G(h) \right\vert \leq \frac{1}{90} h^5 M = \frac{(b-a)^5}{2880} M$$

を得ます. したがって区間を $n$ 等分した時の近似値と積分値の誤差は

$$\frac{b-a}{2880}\left(\frac{b-a}{n}\right)^4 M$$

で押さえられます.