シンプソンの公式

まず, 簡単のために区間を分割しない場合を考えます. $f(x)$ を閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数とします. 台形公式は, これを 1 次関数で近似して積分を計算するのに対し, シンプソンの公式は 2 次関数で近似します. 2 次関数のグラフは 3 点の値で決定されますが, それらは, $[a, f(a)], [(a+b)/2, f((a+b)/2)], [b, f(b)]$ です. 即ち, この 3 点を通る 2 次関数を $g(x)$ とする時, $g(x)$ の積分 の値を $f(x)$ の積分の近似値だと思います.

$$\int_a^b f(x)~dx \doteqdot \int_a^b g(x)~dx = \frac{b-a}{6}(f(a)+f(b)+4f(\frac{a+b}{2}))$$ (4)

区間 $[a,b]$ を $n$ 等分した場合, 上の近似値は次のようになります.

$$\int_a^b f(x)~dx \doteqdot \frac{b-a}{6n} \left\{f(a)+f(b)+ ... ... 4\sum_{k=1}^{n} f\left(a+\frac{2k-1}{2n}(b-a)\right) \right\}$$