台形公式と誤差

定積分に関する次の部分積分法の式を用いると, 台形公式による数値積分の誤差について調べられる.

$$\int_\alpha^{\beta}h(x)g'(x) dx = \left[h(x)g(x)\right]_\alpha^\beta-\int_\alpha^{\beta}h'(x)g(x) dx$$ (1)

定積分 ${\displaystyle \int_\alpha^{\beta}f(x) dx}$ は, 次の図の斜線の面積で近似するとその誤差は, 次のようになる.

$$e = \frac{\beta-\alpha}{2}\{f(\alpha)+f(\beta)\} -\int_\alpha^{\beta}f(x) dx$$ (2)

部分積分法の公式を用いて, まず次の等式が成り立つことを示そう.

$$e = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(\beta-x)f''(x) dx$$ (3)

公式 (1) において, $h(x)$ として $(x-\alpha)(\beta-x)$, $g(x)$ として $f'(x)$ をとると, (3)の右辺は次のようになる.

$$\frac{1}{2}{\left[(x-\alpha)(\beta-x)f'(x)\right]_\alpha^\bet... ... = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}(2x-\alpha-\beta)f'(x) dx$$

再び公式 (1) において$h(x)$ として $2x-\alpha-\beta$, $g(x)$として$f(x)$をとると, 上の式は次のようになる.

$$\frac{1}{2}\left[(2x-\alpha-\beta)f(x)\right]_\alpha^{\beta}- \int_\alpha^{\beta}f(x) dx$$

これは(2)の右辺に等しいから, (3)の等式が成り立つ. 前節において, 定積分 $${\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x) dx}$$ を $S_i$ で近似したときの誤差は

$$E_i=\frac{x_i-x_{i-1}}{2}\left(f(x_{i-1})+f(x_i)\right)- \int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x) dx$$

これは，公式の (2) で $\alpha=x_{i-1}, \quad \beta=x_i$ とおいた式であるから (3) により

$$E_i = \frac{1}{2}\int_{x_{i-1}}^{x_i}(x-x_{i-1})(x_i-x)f''(x) dx$$

ここで

$$\frac{1}{2}\int_{x_{i-1}}^{x_i}(x-x_{i-1})(x_i-x) dx=\frac{h^3}{12}, \quad h=x_i-x_{i-1}$$

であるから, 小区間 $[x_{i-1}, x_i]$において, $f''(x)$ の最大値を$M_{i}$, 最小値を$m_{i}$とすると, 次の公式が成り立つ.

$$\frac{h^3}{12}m_i\leq E_i\leq \frac{h^3}{12}M_i$$

関数 $f''(x)$ が連続であるとき, 分割の個数 $n$ を大きくとって, 小 区間の幅 $h$ を小さくすると

$$m_i\, \doteqdot \, f''(x_i)\, \doteqdot \, M_i \quad\quad E_i\, \doteqdot \, \frac{h^3}{12}f''(x_i)$$

となる. よって, 定積分 $${\int_{a}^{b}f(x) dx}$$ の台形公式 による近似値の誤差は

$$E=T_n-\int_{a}^{b}f(x)\,dx =\sum_{i=1}^{n}E_i\, \doteqdot \, \frac{h^2}{12}\sum_{i=1}^{n}f''(x_i)h$$

ここで, 関数 $f''(x)$ の区分求積法による数値積分を考えると

$$\sum_{i=1}^{n}f''(x_i)h = \int_{a}^{b}f''(x) dx=[f'(x)]_{a}^{b}= f'(b)-f'(a)$$

ゆえに

$$E\, \doteqdot \, \frac{h^2}{12}\{f'(b)-f'(a)\}$$

従って, 誤差は小区間の幅の平方$h^2$にほぼ比例し, $\vert f'(b)-f'(a)\vert$が小さければ, 誤差も小さいことがわかる.