台形公式

$y=f(x)$を連続函数とします.図の様に区間$[a,b]$を $n$等分して, 分点を順に $${a=x_0 < x_1 <\cdots<x_n=b}$$ とし, $${h=\frac{b-a}{n}, \quad y_i=f(x_i)}$$ とする.

小区間$[x_{i-1},x_i]$で, 区間の幅$h$を高さとし, $y_{i-1}$と $y_i$を各々上底, 下底とする台形の面積を$S_i$とすると

$$S_i=\frac{h}{2}(y_0+y_1), \quad S_2=\frac{h}{2}(y_1+y_2), \cdots, S_n=\frac{h}{2}(y_{n-1}+y_n)$$

これらの台形の面積の総和を $T_n=S_1 + S_2 + \cdots + S_n$とすると これは, $n$ が十分に大きいと, 定積分 ${\displaystyle \int_a^b \!f(x) dx}$ の近似値を与える. 従って, 定積分の近似式を与える次の 台形公式 が得られる.

$$\int_a^bf(x)\,dx\, \doteqdot\, \frac{b-a}{2n}\{y_0+2(y_1+y_2+\cdots+y_{n-1})+y_n\}$$