計算機内部での整数の表記

最初の 6-1.c の結果の解説をします.

プログラムでは, a$=65536=2^{16}$ と初期化しています. それを2乗した数, $2^{32}$を出力させると, 0 という結果がでます. 皆さんの環境では int型は 32ビットの数です. 32ビットの2進法 $111\cdots 1$(32桁)は $2^{32}-1$ です. これに 1 を加えると 数学的には $1000\cdots 0$(33桁)となりますが, 皆さんが使っている C言語の整数型は 32ビットなので, 最上位桁の 1は計算の中 で捨てられてしまい, 結果は $000\cdots 0=0$ となるのです.

上のことを利用して負の数を実現します. 即ち, $111\cdots 1$ は 1を加えると 0 となる数ですから -1 とするのです. この仕組みで 0 を中心に対称になるように正負の数を扱おうとすると, 次のようになります.

• 非負の数は $000\cdots 0=0$ から $011\cdots 1=2^{31}-1$ までの数で, 最上位のビットが 0.
• 負の数は $111\cdots 1=-1$ から $100\cdots 0= -2^{31}$ までの数で, 最上位のビットが 1.

この形で負の数を実現することを, 『2の補数』表現といいます. 復習の意味で次の問題をやって下さい.

問題 1(2進法, 8進法, 16進法)

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計算機内部での整数の表記は 2進法を使用しています. 例えば10進法で37は, 2進法では となります. 2進法で101110と表示された数は, 10進法では, となります. 2進法を 8進法や16進法に変換するのは, 8と16が各々, 2の3乗, 4乗であることを利用すると簡単になります. 101110の場合, 右から 3桁毎に区切ると, 上位 3桁は,101なので, 8進法で , 下位 3桁は,110なので, 8進法で となりますから, 全体を 8進法表示すると になります. 同じ数を16進法で表示するには, 右から 4桁毎に区切ると 上位 4桁(この場合 2桁)は, 10なので, , 下位 4桁は, 1110なので, 10進法で, となります. 16進法では, 9より大きい数を 1桁で表すのに, 順に A, B, ..., F を 用いますから, この数を16進法で表すと となります. 従って, 全体を16進法で表示すると となります.

問題 2(符号なしの表記法)

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8ビット符号無整数の最小値は0,最大値は 2進表示で , 16進表示で ,10進表示で です.

問題 3(符号付きの表記法)

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符号付きの整数を表す場合, 2進表示の最上位の桁(ビット)によって正負を決めます. 最上位の数字が の時は正の数で, の時は 負の数を表します. 負の数を表すのに全てのビットを反転して, 1を加える方法があり, この方法を 表示といいます. この方法で, -1を 8ビットの 2進法で表すと次になります. 1は 8ビットの 2進法で00000001ですから, これを反転すると, , さらに 1を加えると となります. これは16進法で となります. 同じ方法で10進法の-41を表すと, +41は 8ビットの 2進法では, ですから, これを反転すると, , さらに 1を加えた, が, -41の 8ビットの 2進表示となります. これを16進法で表すと となります.

問題 4

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問題 3の方法による符号付き整数の表示で 8ビットの最大の整数は, 最上位ビットが符号を表すことに注意すると, 2進法で となります. これを16進法にすると で, 10進法では, になります. これの符号を変えたものの 2進表示(反転して 1を加える)は, となります. 最小の整数はこれより 1小さく, となります. これは16進法では , 10進法では です. 16ビットの符号付きの整数の最大値は, 16進法で , 最小値は, 16進法で となります. 10進法ではそれぞれ , となります.