誤差の限界

真の値$A$の近似値$a$に対して, 近似値と真の値の差

$$a-A$$

あるいは, その絶対値 $\vert a-A \vert$ を近似値$a$の誤差といいます. また, ある小さい正の数 $\epsilon$ に対して

$$\vert a-A \vert \leq \epsilon$$

が成り立つとき, $\epsilon$ を近似値$a$の誤差の限界といいます. この時, 真の値の範囲は, 次の様になります.

$$a-A \leq A \leq a+\epsilon$$

例えば, $\sqrt{2} =1.41421356\cdots$の小数第6位を四捨五入した値 $a=1.41421$ を $\sqrt{2}$ の近似値にとると

$$a-0.000005 \leq \sqrt{2} < a+0.000005$$

よって, $a$ は不等式 $\vert a- \sqrt{2} \vert \leq 0.000005$ を満たし, この近似値の誤差の限界は $0.000005$, すなわち $5 \times 10^{-6}$ となります.

2つの地点 $P,Q$ 間の距離の測定値は $100m$, 別の2地点 $R,S$ 間の距離の 測定値は $42195m$ で, これらの誤差の限界はともに $10cm$ であったとします. このとき, 誤差の限界は同じでも, $P,Q$ 間の距離と, $R,S$ 間の距離の 大きさが違いすぎるため, 測定値の近似の程度はかなり異なると考えます.

このようなとき, 真の値 $A$ の近似値 $a$ に対して, 近似の程度をみるには, 次の相対誤差を考えます.

$$\frac{a-A}{A} \quad or \quad \left\vert \frac{a-A}{A} \right\vert$$