微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 7 回目出題日 2008 年 2 月 8 日注意 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} (s > 0) の発散・収束などの定理は証明なしに用いても構わない。

cos x, log(1 + x), \frac{1}{1 − x} の Maclaurin 展開式は証明なしに用いても構わない。 1. 次の冪級数の収束域を求めよ。

(1) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n^{2}} x^{n} (2) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{log(n + 2)}x^{n} (3) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n!}{(3n)!}x^{3n}

(4) x + (1 + \frac{1}{3})x^{2} + ⋯ + (1 + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{2n − 1})x^{n} + ⋯

2. 次の関数を x = 0 中心に Taylor 展開せよ。収束半径はいくらか。

(1) cos^{3} x (ヒント: まず、 cos 3x を cos x の関数として表せ。 )

(2) log(1 + 2x − 3x^{2})

3. f(x) = \frac{4}{4x − x^{2}} を x = 1 中心に冪級数展開せよ。収束半径はいくらか。 (ヒント: まず、部分分数展開せよ。 )

4. 次の微分方程式を解け。

(1) xy + (1 + x^{2}) \frac{dy}{dx} = 0

(2) 2xy \frac{dy}{dx} = x^{2} + y^{2} (同次形)

(3) x \frac{dy}{dx} + y = x log x (1 階線形方程式)

(4) x \frac{dy}{dx} + y = −x^{3}y^{2} (ヒント：まず y ≠ 0 とし u = y^{1−2} とおけ) 連絡 2 月 15 日 (金) 14:50 から答案用紙を返却するので、返却を希望する者は複合棟 412

室 (いつもの講義室) に受け取りに来ること。