微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 6 回目出題日 2008 年 1 月 25 日注意 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} (s > 0) の発散・収束などの定理は証明なしに用いても構わない。

∑_{n=2}^{∞} n^{p}r^{n−2} (0 < r < 1, p > 0) が収束することも証明なしに用いても構わない。

1. 次の正項級数は収束する, 発散するのいずれかを調べよ。

(1) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2n}}{(2n)!} (2) ∑_{n=1}^{∞} n log(1 + \frac{1}{n^{2}} )

2. 次の級数は絶対収束する, 条件収束する, 発散するのいずれかを調べよ。

(1) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{\sqrt{n^{3} + 2}} (2) ∑_{n=1}^{∞} sin \frac{(−1)^{n−1}}{n}

3. ∑_{k=1}^{n}(−x^{2})^{k−1} = \frac{1 − (−x^{2})^{n}}{1 + x^{2}} を用いて、 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − ⋯ + \frac{(−1)^{n−1}}{2n − 1} + ⋯ = \frac{π}{4} を示

せ。

4. (1) 関数列 \{\frac{1}{1 + (x − n)^{2}} \} は (−∞, ∞) 上一様収束するか、また、 (−∞, ∞) 上で広義一様収束するかを調べよ。

(2) 関数列 {n^{a}xe^{−nx^{2}}} が I = [0, 1] 上で一様収束するような実数 a の範囲を決定せよ。

5. 次の関数項級数 ∑_{n=1}^{∞} xe^{−nx^{2}} が I = [0, 1] 上で一様収束するかを調べよ。

6. f(x) = ∑_{n=1}^{∞} b_{n} sin nx とする。このとき、級数 ∑_{n=1}^{∞} b_{n} が絶対収束すれば、 f(x) は I = [−π, π] 上の連続関数であり、 b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) sin kx dx (k = 1, 2, …) となることを示せ。

7. −1 < x < 1 のとき、 ∑_{n=1}^{∞} nx^{n−1} が収束し、その和が\frac{1}{(1 − x)^{2}} となる。このことから、 −1 < x < 1 のとき、 ∑_{n=2}^{∞} n(n − 1)x^{n−2} が収束し、その和が\frac{2}{(1 − x)^{3}} となることを示せ。 (ヒント: 上の注意の 2 行目を用いよ。 )

以上