微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 5 回目出題日 2008 年 1 月 8 日

1. 次の重積分の広義積分が収束していることを示し、その値を求めよ。ただし、各小問の W に対し、それに収束する増大列を明記していない解答は 0 点とする。

(1) ∫∫_{W} \frac{dx dy}{(x + y)^{2}}  W = \{ (x, y) | x + y > 1, 0 < x < 1 \}

(2) ∫∫∫_{W} \frac{x^{2} dx dy dz}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}}  W = \{ (x, y, z) | 0 < x^{2} + y^{2} + z^{2} < 1 \}

2. W = { (x, y) | 0 < x < 1, 0 < y < 1 } に対して

W_{n} = \{ (x, y) | \frac{\sqrt{3}}{n} < x < 1 − \frac{1}{n}, \frac{1}{n} < y < 1 − \frac{1}{n}\}

U_{n} = \{ (x, y) | \frac{1}{n} < x < 1 − \frac{1}{n}, \frac{\sqrt{3}}{n} < y < 1 − \frac{1}{n}\}

とすると、 {W_{n}}, {U_{n}} はともに W に収束する増加列だが、

I = lim_{n→∞} ∫∫W̄_{n} \frac{x^{2} − y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} dx dy と J = lim_{n→∞} ∫∫Ū_{n} \frac{x^{2} − y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} dx dy

の値が異なることをそれぞれの値を求めることにより示せ。

(実は、 ∫∫_{W} |\frac{x^{2} − y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} | dx dy = ∞ となり、 ∫∫_{W} \frac{x^{2} − y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} dx dy は収束しない。 )

ヒント: \frac{∂^{2}}{∂x∂y} (Arctan \frac{x}{y}) を計算してみよ。

3. 次の線積分を求めよ。ただし、 (2) において C には正の向きが与えられているとする。

(1) ∫_{C}((x^{2} + y^{2}) dx + y dy), C : x = cos t, y = sin t, (0 ≤ t ≤ π)

(2) ∫_{C}((x^{2} + y^{2}) dx + y dy), C は y = \sqrt{x} と y = x^{2} の囲む部分の境界

(3) ∫_{C}((x^{3} − 3xy^{2}) dx − (3x^{2}y − y^{3}) dy), C : x = 1 + cos t, y = sin t, (0 ≤ t ≤ π)

ヒント： D = { (x, y) | (x − 1)^{2} + y^{2} ≤ 1, y ≥ 0} として Green の定理を用いよ。

4. 円柱 x^{2} + y^{2} = ax の球面 x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (a > 0) の内部にある部分の曲面積を求めよ。