微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 4 回目出題日 2007 年 12 月 14 日

1. 次の重積分の値を求めよ。

(1) ∫∫_{D} xy dx dy D = { (x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 2 }
(2) ∫∫_{D} \sqrt{x} dx dy D = \{ (x, y) | x^{2} + y^{2} ≤ 4x \}
(3) ∫∫∫_{V} x dx dy dx V = { (x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 4, x ≥ 0 }
(4) ∫∫_{E} log(x^{2} + y^{2}) dx dy E = { (x, y) | 1 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 }
(5) ∫∫∫_{V} (y + z) log(2x + y) dx dy dz

V = { (x, y, z) | 1 ≤ 2x + y ≤ e, 0 ≤ x + y − z ≤ 1, 0 ≤ y + z ≤ 1 }

2. 反復積分 ∫_{0}^{1} dx ∫_{x^{2}}^{1} x^{3}e^{−y^{3}} dy を求めよ。 (ヒント: 反復積分の順序を交換せよ。 )

3. 次の立体 V の体積を求めよ。

(1) V = { (x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 4, x^{2} + y^{2} ≤ 2x }
(2) V = \{ (x, y, z) | |x|^{\frac{2}{3}} + |y|^{\frac{2}{3}} + |z|^{\frac{2}{3}} ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 \}

ヒント: 例えば、まず、 Φ : (s, t, u) ↦ (x, y, z) = (s^{3}, t^{3}, u^{3}) と変換して、そのあと、 3 次元極座標変換を用いよ。また、 I_{n} = ∫0^{\frac{π}{2}} sin^{n} θ dθ に対する漸化式 I_{n} = \frac{n − 1}{n}I_{n−2} (n ≥ 2) は証明なしに用いても構わない。