微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト出題日 2007 年 11 月 30 日

1. f(x, y) = x^{3} − 3x^{2}y + y^{3} + 3 = 0 によって定まる陰関数 y = φ(x) の極値を求めよ。ただし、 f_{y}(x, y) = f(x, y) = 0 となる x については考えなくてよい。

2. f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + 2z^{2} − 4 について、以下を解け。

(1) f(x, y, z) = 0 によって定まる陰関数 z = φ(x, y) の x, y に関する偏導関数を求めよ。 (2) 曲面 S: f(x, y, z) = 0 上の点 (1, −1, 1) での S の接平面 α の方程式を求めよ。

(3) (2) で求めよ接平面 α に関して点 A(0, 2, 0) と対称な点 A′ の座標を求めよ。

3. x = \frac{1}{2} log(u^{2} + v^{2}), y = Arctan \frac{v}{u}, z = uv (ただし u ≠ 0 ) のとき、次を求めよ。 (1) u, v の x, y に関する偏導関数をそれぞれ求めよ。

(2) z の x, y に関する偏導関数を求めよ。注意: (1), (2) ともに u, v の式で表してください。

4. 条件 φ(x, y) = x^{2} + y^{4} − 1 = 0 のもとでの関数 f(x, y) = x − 2y^{2} の最大値、最小値と、それを与える点を求めよ。

5. 条件 φ(x, y, z) = 4x^{2} + y^{2} + z^{2} − 4 = 0 のもとでの関数 f(x, y) = 4xy + z の最大値、最小値と、それを与える点を求めよ。