微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト出題日 2007 年 11 月 9 日

1. (1) 三平方の定理から余弦定理 c^{2} = a^{2} + b^{2} − 2ab cos C を導け。ただし、三角形 ABC において AB = c, BC = a, CA = b と定める。

(2) 余弦定理を用いて、ヘロンの公式 S = \sqrt{m(m − a)(m − b)(m − c)} を導け。ここで、 S は三辺の長さが a, b, c となる三角形の面積で、 2m = a + b + c とする。

2. (1) f(r) は C^{2}-関数とする。 w = f(r), r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} のとき、

\frac{∂^{2}w}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}w}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}w}{∂z^{2}} = \frac{d^{2}w}{dr^{2}} + \frac{2}{r} \frac{dw}{dr} を示せ。

(2) z = e^{xy}, x = log(s^{2} + t^{2}), y = Arctan \frac{t}{s} のとき、 z_{s}, z_{t} を求めよ。

3. (1) 平面上の各点 (r, θ) で定義された C^{1}-関数 z = φ(r, θ) が恒等的に φ_{θ} = 0 をみたしていれば、 φ(r, θ) は r のみの関数であることを示せ。

(2) R^{2} 上の C^{1}-関数 f(x, y) が恒等的に yf_{x} − xf_{y} = 0 をみたしていれば、 f(x, y) は \sqrt{x^{2} + y^{2}} のみの関数であることを示せ。

4. 関数 f(x, y) = e^{x} Arcsin y に (0, 0) の近傍で n = 2 に対して Taylor の定理を適用せよ。

5. 関数 f(x, y) = x^{4} + y^{4} − x^{2} + 2xy − y^{2} の極値と、それを与える点を求めよ。

6. 閉領域 x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4 上の関数 f(x, y) = x^{2} + xy + y^{2} − 4x − 5y の最大値と最小値と、それを与える点を求めよ。