微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト出題日 2007 年 10 月 26 日

1. 次の極限が存在すれば求め、しなければそれを示せ。

(1) lim_{(x,y)→(1,−1)} \frac{x^{2}y + x^{2} − y − 1}{xy + x − y − 1}  (2) lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{sin xy}{x^{2} + y^{2}}

(3) lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} + y^{2}} (4) lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{sin(x^{2} + y^{2})}{|x| + |y|}

2. (x, y) → (a, b) のとき f(x, y), g(x, y) がそれぞれ A, B に収束するとする。このと

き、 lim_{(x,y)→(a,b)}{f(x, y) + g(x, y)} = A + B となることを示せ。

3. 次の関数の (各変数に関する) 偏導関数を求めよ。 ((1), (2) ともに x ≠ 0 とする。 )

(1) f(x, y) = Arctan \frac{y}{x} (2) f(x, y) = Arcsin \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

4. 関数 f(x, y) = \{ \begin{matrix}xy \frac{x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}} & ((x, y) ≠ (0, 0)) \\ 0 & ((x, y) = (0, 0)) \end{matrix} に対し、 f_{xy}(0, 0), f_{yx}(0, 0) を求

めよ。

5. f(x, y) = |xy|^{3/4} は (x, y) = (0, 0) で全微分可能だが、 C^{1}-関数ではないことを示せ。

6. f(x, y) = x^{3} + 2x^{2}y − xy^{2} − y^{3} とする。

(1) 点 (1, −1, −1) での z = f(x, y) のグラフの接平面 α を求めよ。

(2) 点 (1, −1, −1) を通り (1) の平面 α に直交する直線 ℓ と xy-平面との交点の座標を求めよ。

(3) (2) の直線 ℓ と xy-平面とのなす角を θ (0 ≤ θ ≤ \frac{π}{2} ) とするとき、 sin θ の値を求めよ。 (ヒント: xy-平面の法線ベクトルと直線 ℓ の方向ベクトルのなす角が\frac{π}{2} − θ となることを用いよ。 )