微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2008 年 1 月 8 日の試験の解答の要点^{1}

1 [10 + 12] (1) W_{n} = \{(x, y)|1 + \frac{1}{n} − x < y < n − x, \frac{1}{n} < x < 1 − \frac{1}{n}\} とおくと、 \{W_{n}\} は W に収束する増

大列。 ∫∫W̄_{n} \frac{dx dy}{(x + y)^{2}} = ∫ 1− \frac{1}{n}_{\frac{1}{n}} dx ∫_{1+ \frac{1}{n} −x}^{n−x} \frac{dy}{(x + y)^{2}} = ⋯ = (\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} − \frac{1}{n})(1 − \frac{2}{n}). よって、 (与式)= 1.

(2) W_{n} = \{(x, y, z)|(\frac{1}{n})^{2} < x^{2} + y^{2} + z^{2} < (1 − \frac{1}{n})^{2}\} とおくと、 \{W_{n}\} は W に収束する増大列。 D_{n} = \{(r, θ, φ)|\frac{1}{n} ≤ r ≤ 1 − \frac{1}{n}, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π\} とおくと、写像 Φ : (r, θ, φ) ↦ (x, y, z) = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) により D_{n} は W̄_{n} に θ = 0, π, φ = 0, 2π のときを除き一対一に写され、 J_{Φ} = r^{2} sin θ > 0 となる。

∫∫∫W̄_{n} \frac{x^{2} dx dy dz}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}} = ∫∫∫_{D_{n}} \frac{r^{2} sin^{2} θ cos^{2} φ}{r^{4}}r^{2} sin θ dr dθ dφ = ∫ 1− \frac{1}{n}_{\frac{1}{n}} dr ∫_{0}^{π} sin^{3} θ dθ ∫_{0}^{2π} cos^{2} φ dφ =

\frac{4π}{3} (1 − \frac{2}{n}). よって、 (与式)= \frac{4π}{3} .

2 [12] \frac{∂}{∂x}(Arctan \frac{x}{y}) = \frac{y}{x^{2}+y^{2}} , \frac{∂}{∂y} (\frac{y}{x^{2}+y^{2}} ) = \frac{x^{2}−y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} に注意する。

∫∫W̄_{n} \frac{x^{2} − y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} dx dy = ∫ 1− \frac{1}{n}_{\frac{\sqrt{3}}{n}} dx ∫ 1− \frac{1}{n}_{\frac{1}{n}} \frac{x^{2} − y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} dy = ∫ 1− \frac{1}{n}_{\frac{\sqrt{3}}{n}} [\frac{y}{x^{2} + y^{2}} ]1− \frac{1}{n}_{\frac{1}{n}} dx

= ∫ 1− \frac{1}{n}_{\frac{\sqrt{3}}{n}} (\frac{1 − \frac{1}{n}}{x^{2} + (1 − \frac{1}{n})^{2}} − \frac{\frac{1}{n}}{x^{2} + (\frac{1}{n})^{2}} ) dx = [Arctan \frac{x}{1 − \frac{1}{n}} − Arctan \frac{x}{\frac{1}{n}} ]1− \frac{1}{n}_{\frac{\sqrt{3}}{n}}

= Arctan 1 − Arctan \frac{1 − \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} − Arctan \frac{\frac{\sqrt{3}}{n}}{1 − \frac{1}{n}} + Arctan \sqrt{3}. よって、 I = \frac{π}{4} − \frac{π}{2} − 0 + \frac{π}{3} = \frac{π}{12}.

同様に、 ∫∫Ū_{n} \frac{x^{2} − y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} dx dy = Arctan 1 − Arctan \frac{1 − \frac{1}{n}}{\frac{\sqrt{3}}{n}} − Arctan \frac{\frac{1}{n}}{1 − \frac{1}{n}} + Arctan \frac{1}{\sqrt{3}}.

よって、 J = \frac{π}{4} − \frac{π}{2} − 0 + \frac{π}{6} = −\frac{π}{12}.

3 [5 + 10 + 10] (1) (与式)= ∫_{0}^{π}(− sin t + sin t cos t) dt = −2.

(2) C = C_{1}C_{2}, C_{1} : x = t, y = t^{2} (0 ≤ y ≤ 1), C_{2}^{−1} : x = t^{2}, y = t (0 ≤ y ≤ 1) とできるので、

(与式)= ∫_{0}^{1}\{(t^{2} + t^{4}) + t^{2} · 2t\} dt − ∫_{0}^{1}\{(t^{4} + t^{2}) · 2t + t\} dt = −\frac{3}{10}. (Green の定理を用いてもよい。 )

(3) ヒントの D を用いると D の境界 ∂D は ∂D = CC_{1}, ただし C_{1} : x = t, y = 0 (0 ≤ y ≤ 2), と分解できるので、 Green の定理より

(与式)+ ∫_{C_{1}}((x^{3} − 3xy^{2}) dx − (3x^{2}y − y^{3}) dy) = ∫∫_{D}(−\frac{∂}{∂y} (x^{3} − 3xy^{2}) + \frac{∂}{∂x}(3x^{2}y − y^{3})) dx dy =

∫∫_{D}(6xy − 6xy) dx dy = 0. よって、 (与式)= − ∫_{C_{1}}((x^{3} − 3xy^{2}) dx − (3x^{2}y − y^{3}) dy) = − ∫_{0}^{2} t^{3} dt = −4.

4 [14] x^{2} + y^{2} = ax を極座標表示すると r = a cos θ (−\frac{π}{2} ≤ θ ≤ \frac{π}{2} ) より、円柱は x = a cos θ cos θ, y = a cos θ sin θ, z = t と表される。ここで、円柱の球の内部にある部分は −\sqrt{a^{2} − x^{2} − y^{2}} ≤ z ≤ \sqrt{a^{2} − x^{2} − y^{2}}, 即ち、 −a| sin θ| ≤ t ≤ a| sin θ| となればよい。以上より、 D = \{(θ, t)|−a| sin θ| ≤ t ≤ a| sin θ|, −\frac{π}{2} ≤ θ ≤ \frac{π}{2} \}

とおくと、 (\frac{∂(x,y)}{∂(θ,t)})^{2} + (\frac{∂(y,z)}{∂(θ,t)})^{2} + (\frac{∂(z,x)}{∂(θ,t)})^{2} = a^{2}(cos^{2} θ − sin^{2} θ)^{2} + 4a^{2} sin^{2} θ cos^{2} θ = a^{2} より、求める

表面積 S は、 S = ∫∫_{D} a dθ dt = a ∫− \frac{π}{2}^{\frac{π}{2}} dθ ∫_{−a| sin θ|}^{a| sin θ|} dt = 2a^{2} ∫− \frac{π}{2}^{\frac{π}{2}} | sin θ| dθ = 4a^{2} ∫0^{\frac{π}{2}} sin θ dθ = 4a^{2}.

(別解) y ≥ 0, z ≥ 0 の部分を求めて 4 倍すればよい。曲面は y = f(x, z) = \sqrt{ax − x^{2}}, D = \{(x, z) | 0 <

z < \sqrt{a^{2} − ax}, 0 < x < a\} と表されるので、 S = 4 ∫∫_{D} \sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{z}^{2}} dx dz = 4 ∫∫_{D} \frac{a}{2\sqrt{ax − x^{2}}} dx dz と

なる^{2}。そこで、 D_{n} = \{(x, z) | \frac{1}{n} \sqrt{a^{2} − ax} < z < (1 − \frac{1}{n})\sqrt{a^{2} − ax}, \frac{a}{n} < x < a(1 − \frac{1}{n}) \} とすれば \{D_{n}\} は D に収束する増大列になり、これを用いて広義重積分を計算すれば (計算は略す) S = 4a^{2} が得られる。

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。尚、 [ ] 内はその問題の配点で、満点は 73 点である。

2S の式右辺は広義重積分である。このため D を閉領域ではなくあえて上記のような表示にした。 (その意味で教科書の解答は誤り。 )