微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2007 年 12 月 14 日の試験の解答の要点^{1}

1 D を図示することを (特に (1), (2) について) 強く勧めるのだが、ここでは略す。

(1) D を縦線閉領域として表すと D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 2 − 2x, 0 ≤ x ≤ 1} となるから、

(与式)= ∫_{0}^{1} dx ∫_{0}^{2−2x} xy dy = ∫_{0}^{1}[\frac{1}{2}xy^{2}]_{0}^{2−2x} dx = ∫_{0}^{1} 2x(1 − x)^{2} dx = \frac{1}{6}.

(2) D = \{(x, y) | − \sqrt{4x − x^{2}} ≤ y ≤ \sqrt{4x − x^{2}}, 0 ≤ x ≤ 4\} となるから、

(与式)= ∫_{0}^{4} \sqrt{x}dx ∫_{−\sqrt{4x−x^{2}}}^{√\overline{4x−x^{2}}} dy = ∫_{0}^{4} x\sqrt{4 − x} dx = ∫_{0}^{4}(4 − t)\sqrt{t} dt = \frac{256}{15}.

(3) V = {(x, y, z) | (y, z) ∈ V (x), 0 ≤ x ≤ 2} ただし V (x) = {(y, z) | y^{2} + z^{2} ≤ 4 − x^{2}} と表せ、 V (x) の面積

は π(4 − x^{2}) となるから、 (与式)= ∫_{0}^{2} x dx ∫∫_{V (x)} dy dz = ∫_{0}^{2} πx(4 − x^{2}) dx = 4π.

(4) D = {(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/2} は写像 Φ : (r, θ) ↦ (x, y) = (r cos θ, r sin θ) により D は E に一対一

で写され、 J_{Φ} = r > 0 となるから、 (与式)=∫∫_{D}(log r^{2})r dr dθ = ∫_{0}^{π/2} dθ ∫_{0}^{2} 2r log r dr = \frac{π}{2} (4 log 2 − \frac{3}{2}).

(5) W = {(s, t, u) | 1 ≤ s ≤ e, 0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ u ≤ 1} とおくと、写像 Φ : (x, y, z) ↦ (s, t, u) = (2x + y, x + y − z, y + z) により V は W に写され、 J_{Φ} = 3 となるからこれは一対一で、 Φ の逆写像 Φ^{−1} について

J_{Φ^{−1}} = 1/3 > 0 となる。よって、 (与式)=∫∫∫_{W} u log s \frac{1}{3} ds dt du = \frac{1}{3} ∫_{1}^{e} ds ∫_{0}^{1} dt ∫_{0}^{1} u log s du = \frac{1}{6}.

2 D = \{(x, y) | x^{2} ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1\} とおくと、 D は横線閉領域として D = \{(x, y) | 0 ≤ x ≤ \sqrt{y}, 0 ≤

y ≤ 1\} と表されるので、 (与式)=∫∫_{D} x^{3}e^{−y^{3}} dx dy = ∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{√\overline{y}} x^{3}e^{−y^{3}} dx = ∫_{0}^{1} \frac{1}{4}y^{2}e^{−y^{3}} dy = \frac{e − 1}{12e}.

3 (1) V = \{(x, y, z) | − \sqrt{4 − x^{2} − y^{2}} ≤ z ≤ \sqrt{4 − x^{2} − y^{2}}, (x, y) ∈ D\}, D = \{(x, y) | x^{2} + y^{2} ≤ 2x\} より、

m(V) = ∫∫_{D} dx dy ∫_{−\sqrt{4−x^{2}−y^{2}}}^{√\overline{4−x^{2}−y^{2}}} dz = ∫∫_{D} 2\sqrt{4 − x^{2} − y^{2}} dx dy.

ここで、 E = {(r, θ) | 0 ≤ r ≤ 2 cos θ, −π/2 ≤ θ ≤ π/2} とすると写像 Φ : (r, θ) ↦ (x, y) = (r cos θ, r sin θ) により E は D に r = 0, θ = ±π/2 のときを除き一対一で写され^{2}、 J_{Φ} = r > 0 (r ≠ 0) となるから、

m(V) = ∫∫_{E} 2\sqrt{4 − r^{2}}r dr dθ = ∫_{−π/2}^{π/2} dθ ∫_{0}^{2 cos θ} 2r\sqrt{4 − r^{2}} dθ = \frac{16}{3} ∫_{−π/2}^{π/2}(1 − | sin θ|^{3}) dθ

= \frac{32}{3} ∫_{0}^{π/2}(1 − \frac{3 sin θ − sin 3θ}{4} ) dθ = \frac{16}{3}π − \frac{64}{9}.

(2) W = {(s, t, u) | s^{2} + t^{2} + u^{2} ≤ 1, s ≥ 0, t ≥ 0, u ≥ 0} とおくと、写像 Φ : (s, t, u) ↦ (x, y, z) = (s^{3}, t^{3}, u^{3}) により W は V に一対一に写され、 J_{Φ} = 27s^{2}t^{2}u^{2} となる。更に、 U = {(r, θ, φ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ π/2} とおくと、写像 Ψ : (r, θ, φ) ↦ (s, t, u) = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) により U は W に r = 0, θ = 0 のときを除き一対一に写され、 J_{Ψ} = r^{2} sin θ となる。^{3}

m(V) = ∫∫∫_{V} dx dy dz = ∫∫∫_{W} 27s^{2}t^{2}u^{2} ds dt du = ∫∫∫_{U} 27r^{6} sin^{4} θ cos^{2} θ cos^{2} φ sin^{2} φ r^{2} sin θ dr dθ dφ

= 27 ∫_{0}^{1} r^{8} dr ∫_{0}^{π/2} sin^{5} θ cos^{2} θ dθ ∫_{0}^{π/2} sin^{2} φ cos^{2} φ dφ = 3(I_{5} − I_{7})(I_{2} − I_{4}) = ⋯ = \frac{π}{70}.

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。配点は 1, 2 が各 8 点、 3 (1) 12 点, (3) 15 点の、満点 75 点である。

2今回の試験では「⋯ を除き」の部分が正しく明記されていなくても減点はしなかった。他の問題も同様とした。 3はじめから、 U から V への写像 Φ : (r, θ, φ) ↦ (x, y, z) = ((r sin θ cos φ)^{3}, (r sin θ sin φ)^{3}, (r cos θ)^{3}) を考えてもよいが、 J_{Φ} の計算は大変であるので、上記のように迂回できるようヒントをつけた。