微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2007 年 11 月 30 日のテストの解答の要点^{1}

1 [10] (1) φ′ = \frac{x^{2}−2xy}{x^{2}−y^{2}} より、 φ′ = 0 を f(x, y) = 0 と連立させて解いて (x, y) = (0, −\sqrt[3]{3}), (2, 1) を得る。更に、 f = 0 を 2 回微分して 6x − 6y − 12xy′ − 3x^{2}y′′ + 6y(y′)^{2} + 3y^{2}y′′ = 0. これより、 y′ = 0 なら y′′ = \frac{2x−2y}{x^{2}−y^{2}} となるから、 φ′′(0) = −2 · 3^{−1/3} < 0, φ′′(2) = 2/3 > 0 となる。以上より、 x = 0 のとき極大値 −\sqrt[3]{3}, x = 2 のとき極小値 1 をとる。

2 [4 + 3 + 5] (1) φ_{x}(x, y) = −\frac{x}{2z}, φ_{x}(x, y) = −\frac{y}{2z}.

(2) (1) より、 φ_{x}(1, −1) = −1/2, φ_{y}(1, −1) = 1/2 となるから、 z − 1 = −\frac{1}{2}(x − 1) + \frac{1}{2}(y + 1).

(3) (2) の平面を整理すると x − y + 2z = 4. よって、点 A′ は方向ベクトル (1, −1, 2) で (0, 2, 0) を通る直線上にあるので A′(t, −t + 2, 2t) とできる。このとき、 A, A′ の中点 (\frac{t}{2}, −\frac{t}{2} + 2, t) が平面 α 上にあるので、\frac{t}{2} − (−\frac{t}{2} + 2) + 2t = 4. これを解いて t = 2 となるから、 A′(2, 0, 4) となる。

3 [6 + 4] (1) x_{u} = \frac{u}{u^{2}+v^{2}} , x_{v} = \frac{v}{u^{2}+v^{2}} , y_{u} = \frac{−v}{u^{2}+v^{2}} , y_{v} = \frac{u}{u^{2}+v^{2}} となるので、

(\begin{matrix}u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix}x_{u} & x_{v} \\ y_{u} & y_{v} \end{matrix})^{−1} = (\begin{matrix}u & −v \\ v & u \end{matrix}).

(2) z_{x} = z_{u}u_{x} + z_{v}v_{x} = 2uv, z_{y} = z_{u}u_{y} + z_{v}v_{y} = u^{2} − v^{2}.

4 [12] D = { (x, y) | |x| ≤ 2, |y| ≤ 2 } とすると、 D の境界で φ(x, y) = 0 とならない。また、 φ_{x} = φ_{y} = 0 とすると (x, y) = (0, 0) であるから、 φ(x, y) = 0 とならない。そこで、 F (x, y, λ) = f(x, y) + λφ(x, y) とすると、 F_{x} = 1 + 2λx, F_{y} = −4y + 4λy^{3}. F_{x} = F_{y} = F = 0 を連立させて解くと、 F_{y} = 0 より y = 0 または λ > 0 かつ y = ±λ^{−1/2}. y = 0 なら x = ±1, λ = ∓1/2. y = ±λ^{−1/2} なら x = −\frac{1}{2λ} より λ = (5/4)^{1/2}, x = −(1/5)^{1/2}, y = ±(4/5)^{1/4}. 以上より、 (x, y, λ) = (1, 0, −\frac{1}{2}), (−1, 0, \frac{1}{2}), (−(1/5)^{1/2}, ±(4/5)^{1/4}, (5/4)^{1/2}). このとき f(x, y) の値は順に 1, −1, −\sqrt{5} となるから、 (x, y) = (1, 0) のとき最大値 1 を、 (x, y) = (−(1/5)^{1/2}, ±(4/5)^{1/4}) のとき最小値 −\sqrt{5} をとる。

[別解] x = cos θ, y^{2} = sin θ (0 ≤ θ ≤ π) とできるので、 F (θ) = cos θ − 2 sin θ (0 ≤ θ ≤ π) の最大値、最小値を求めてもできる。 (最大値、最小値だけでなく、そのときの (x, y) の値まで求めることができた場合のみ正解とした。 )

5 [16] D = { (x, y) | |x| ≤ 3, |y| ≤ 3, |z| ≤ 3 } とすると、 D の境界で φ(x, y, z) = 0 とならない。また、 φ_{x} = φ_{y} = φ_{z} = 0 とすると (x, y, z) = (0, 0, 0) であるから、 φ(x, y, z) = 0 とならない。そこで、 F (x, y, z, λ) = f(x, y, z) + λφ(x, y, z) とすると、 F_{x} = 4y + 8λx, F_{y} = 4x + 2λy, F_{z} = 1 + 2λz. F_{x} = F_{y} = 0 より、 x = 0 または λ = ±1. x = 0 なら z = ±2, λ = ∓\frac{1}{4}. λ = 1 なら 2x + y = 0 で z = −\frac{1}{2} より x = ±\frac{\sqrt{30}}{8}, y = ∓\frac{\sqrt{30}}{4}. λ = −1 なら 2x − y = 0 で z = \frac{1}{2} より x = ±\frac{\sqrt{30}}{8}, y = ∓\frac{\sqrt{30}}{4}. 以上より、 (x, y, z, λ) = (0, 0, 2, −\frac{1}{4}), (0, 0, −2, −\frac{1}{4}), (±\frac{\sqrt{30}}{8}, ∓\frac{\sqrt{30}}{4}, −\frac{1}{2}, 1), (±\frac{\sqrt{30}}{8}, ±\frac{\sqrt{30}}{4}, \frac{1}{2}, −1). このとき f(x, y) の値は順に 2, −2, −\frac{17}{4}, \frac{17}{4} となるから、 (x, y, z) = (±\frac{\sqrt{30}}{8}, ±\frac{\sqrt{30}}{4}, \frac{1}{2}) のとき最大値\frac{17}{4} を、 (x, y) = (±\frac{\sqrt{30}}{8}, ∓\frac{\sqrt{30}}{4}, −\frac{1}{2}) のとき最小値 −\frac{17}{4} をとる。 (各括弧内では複合は同順で考えるものとする。 )

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。より詳しくは直接質問に来ること。尚、 [ ] 内はその問題の配点で、満点は 60 点である。