微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2007 年 11 月 9 日のテストの解答の要点^{1}

1 [5×2] (1) A から BC に下ろした垂線の足を H とすると、三平方の定理により AH^{2} = AB^{2} −BH^{2} = AC^{2} −CH^{2}. ここで、 CH = |b cos C|, BH = |a−b cos C|. よって、 c^{2} −(a−b cos C)^{2} = b^{2} −(b cos C)^{2} となる。これを整理して c^{2} = a^{2} + b^{2} − 2ab cos C を得る。

(2) S^{2} = (\frac{1}{2}ab sin C)^{2} = \frac{1}{4}a^{2}b^{2}\{1 − (\frac{a^{2}+b^{2}−c^{2}}{2ab})^{2}\} = ⋯ = \frac{1}{16}(a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = m(m − a)(m − b)(m − c). よって、与式を得る。

2 [7 + 6] (1) w_{x} = f′(r)\frac{∂r}{∂x}, w_{xx} = f′′(r)(\frac{∂r}{∂x})^{2} + f′(r)\frac{∂^{2}r}{∂x^{2}} = f′′(r)(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} )^{2} + f′(r)(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} −

\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} ). 同様に、 w_{yy} = f′′(r)\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} + f′(r)(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} − \frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} ),

w_{zz} = f′′(r)\frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} + f′(r)(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} − \frac{z^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} ) より、

w_{xx} + w_{yy} + w_{zz} = f′′(r)\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} + f′(r)(\frac{3}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} − \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} ) = f′′(r) + \frac{2}{r}f′(r).

(2) z_{s} = z_{x}x_{s} + z_{y}y_{s} = e^{xy}(y · \frac{2s}{s^{2}+t^{2}} − x · \frac{t}{s^{2}+t^{2}} ). z_{t} = z_{x}x_{t} + z_{y}y_{t} = e^{xy}(y · \frac{2t}{s^{2}+t^{2}} + x · \frac{s}{s^{2}+t^{2}} ).

3 [5 × 2] (1) ∀θ_{1}, θ_{2} に対して平均値の定理により 0 < u < 1 があって、 φ(r, θ_{2}) − φ(r, θ_{1}) = (θ_{2} − θ_{1})φ_{θ}(r, θ_{1} + u(θ_{2} − θ_{1})) = 0 となるから、 φ(r, θ_{1}) = φ(r, θ_{2}).

(2) φ(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ) (x = r cos θ, y = r sin θ) とおくと、 φ_{θ} = f_{x}(r cos θ, r sin θ)(−r sin θ) + f_{y}(r cos θ, r sin θ)r cos θ = −f_{x}(x, y)y + f_{y}(x, y)x = 0. よって、 (1) より r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} のみの関数となる。

4 [7] f_{x} = f_{xx} = e^{x} Arcsin y, f_{y} = f_{xy} = e^{x} \frac{1}{\sqrt{1−y^{2}}} , f_{yy} = e^{x} \frac{y}{(1−y^{2})^{3/2}} により、 f(s, t) = 0 + s · 0 + t · 1 + \frac{1}{2}(s^{2}e^{θs} Arcsin θt + 2ste^{θs} \frac{1}{\sqrt{1−(θt)^{2}}} + t^{2}e^{θs} \frac{θt}{(1−(θt)^{2})^{3/2}} ) = t + \frac{1}{2}e^{θs}(s^{2} Arcsin θt + 2st\frac{1}{\sqrt{1−(θt)^{2}}} + t^{2} \frac{θt}{(1−(θt)^{2})^{3/2}} ).

5 [10] f_{x} = 4x^{3} − 2x + 2y, f_{y} = 4y^{3} + 2x − 2y, f_{xx} = 12x^{2} − 2, f_{xy} = 2, f_{yy} = 12y^{2} − 2. f_{x} = f_{y} = 0 を解いて (x, y) = (0, 0), (1, −1), (−1, 1). (x, y) = (1, −1) のとき、 f_{xy}^{2} − f_{xx}f_{yy} < 0, f_{x} = 10 より、このとき極小値 −2, (x, y) = (−1, 1) のとき、 f_{xy}^{2} − f_{xx}f_{yy} < 0, f_{x} = 10 より、このとき極小値 −2. (x, y) = (0, 0) のとき、 f_{xy}^{2} − f_{xx}f_{yy} = 0 であるが、 f(s, 0) = s^{4} − s^{2} = s^{2}(s^{2} − 1) < 0 (0 < |s| < 1), 一方、 f(s, s) = 2s^{2} > 0 (s ≠ 0) となるので、 (0, 0) の近くで f(x, y) は正にも負にもなるのでこれは極値ではない。

6 [10] f_{x} = 2x+y −4, f_{y} = x+2y −5, f_{xx} = 2, f_{xy} = 1, f_{yy} = 2. f_{x} = f_{y} = 0 を解いて (x, y) = (1, 2). このとき、 f_{x} = 2, f_{xy}^{2} − f_{xx}f_{yy} = 1 − 2^{2} < 0 より極小値 −7 をとる。次に境界上で考える。 {(x, 0)|0 ≤ x ≤ 4} 上では f(x, 0) = (x − 2)^{2} − 4 より、 x = 2 で最小値 −4, x = 0, 4 で最大値 0. \{(x, 4 − x)|0 ≤ x ≤ 4\} 上では f(x, 4 − x) = (x − \frac{3}{2})^{2} − \frac{25}{4} より、 x = \frac{3}{2} で最小値 −\frac{25}{4}, x = 4 で最大値 0. \{(0, y)|0 ≤ y ≤ 4\} 上では f(x, 0) = (y − \frac{5}{2})^{2} − \frac{25}{4} より、 y = \frac{5}{2} で最小値 −\frac{25}{4}, y = 0 で最大値 0. 以上より、 (x, y) = (0, 0), (4, 0) で最大値 0, (x, y) = (1, 2) で最小値 −7 となる。

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。より詳しくは直接質問に来ること。尚、 [ ] 内はその問題の配点で、満点は 60 点である。