微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2007 年 10 月 26 日のテストの解答の要点^{1}

1 [5 × 4] (1) (与式)= lim_{(x,y)→(1,−1)} \frac{(x^{2}−1)(y+1)}{(x−1)(y−1)} = lim_{(x,y)→(1,−1)}(x + 1) = 2.

(2) x = r cos θ, y = r sin θ (r > 0, 0 ≤ θ < 2π) とおくと、 (x, y) → (0, 0) ⇔ r → 0. このとき、 \frac{sin xy}{x^{2}+y^{2}} = \frac{sin(r^{2} cos θ sin θ)}{r^{2}} → cos θ sin θ (r → 0) となる。よって θ のとり方により値が変化するので極限は存在しない。

(3) x = r cos θ, y = r sin θ (r > 0, 0 ≤ θ < 2π) とおくと、 (x, y) → (0, 0) ⇔ r → 0 で、 |\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} | = |\frac{r^{3}(cos^{3} θ+sin^{3} θ)}{r^{2}}| ≤ 2r → 0 (r → 0) となるので、 (与式)= 0.

(4) x = r cos θ, y = r sin θ (r > 0, 0 ≤ θ < 2π) とおくと、 (x, y) → (0, 0) ⇔ r → 0 で、 0 ≤ \frac{sin(x^{2}+y^{2})}{|x|+|y|} = \frac{sin r^{2}}{r(| cos θ|+| sin θ|)}. ここで、 0 ≤ θ ≤ \frac{π}{2} のとき、 cos θ + sin θ = \sqrt{2} sin(θ + \frac{π}{4} ) ≥ 1 より、すべての θ に対して | cos θ| + | sin θ| ≥ 1. よって、 0 ≤ \frac{sin(x^{2}+y^{2})}{|x|+|y|} ≤ r \frac{sin r^{2}}{r^{2}} → 0(r → 0) となるので、 (与式)= 0 となる。

2 [5] ε > 0 を任意にとる。仮定よりある δ > 0 があって、 0 < d((x, y), (a, b)) < δ ⇒ |f(x, y) − A| < \frac{δ}{2}, 0 < d((x, y), (a, b)) < δ ⇒ |g(x, y) − B| < \frac{δ}{2} とできる。よって、 0 < d((x, y), (a, b)) < δ ならば |{f(x, y) + g(x, y)} − (A + B)| ≤ |f(x, y) − A| + |g(x, y) − B| < ε となり、主張を得る。

3 [4 + 6] (1) f_{x} = −\frac{y}{x^{2}+y^{2}} , f_{y} = \frac{x}{x^{2}+y^{2}} . (2) f_{x} = −\frac{x}{|x|} \frac{y}{x^{2}+y^{2}} , f_{y} = \frac{|x|}{x^{2}+y^{2}} .

4 [10] (x, y) ≠ (0, 0) のとき、 f_{x}(x, y) = y \frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} + xy \frac{4xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} , f_{y}(x, y) = x\frac{x^{2}−y^{2}}{x^{2}+y^{2}} + xy \frac{−4yx^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} .

f_{x}(0, 0) = lim_{h→0} \frac{f(h,0)−f(0,0)}{h} = lim_{h→0} \frac{0−0}{0} = 0, 同様に f_{y}(0, 0) = 0. よって、 f_{xy}(0, 0) = lim_{k→0} \frac{f_{x}(0,k)−f_{x}(0,0)}{k} =

lim_{k→0} \frac{1}{k} · k \frac{0^{2}−k^{2}}{0^{2}+k^{2}} = −1, f_{yx}(0, 0) = lim_{h→0} \frac{f_{y}(h,0)−f_{y}(0,0)}{h} = lim_{h→0} \frac{1}{h} · h\frac{h^{2}−0^{2}}{h^{2}+0^{2}} = 1.

5 [10] 全微分可能であること。 C(x, y) = \frac{|xy|^{3/4}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} ((x, y) ≠ (0, 0)), C(0, 0) = 0 とおくと、 |C(x, y)| ≤

\frac{|(x^{2}+y^{2})/2|^{3/4}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{|x^{2}+y^{2}|^{1/4}}{2^{3/4}} → 0 ((x, y) → (0, 0)) であり、 f(x, y) = f(0, 0) + 0(x − 0) + 0(y − 0) + d((x, y), (0, 0))C(x, y) とできるので、 f(x, y) は (x, y) = (0, 0) で全微分可能。 C^{1}-関数でないこと。 x > 0 のとき f_{x}(x, y) = \frac{3}{4}x^{−1/4}|y|^{3/4}. また、 f_{x}(0, 0) = lim_{h→0} \frac{1}{h}(0 − 0) = 0. 一方、 f_{x}(t^{3}, t) = \frac{3}{4} (t > 0) となるので、 f_{x}(x, y) は (x, y) = (0, 0) で連続ではないので C^{1}-関数ではない。

6 [5 × 3] (1) f_{x}(1, −1) = −2, f_{y}(1, −1) = 1 より、求める平面の方程式は z + 1 = −2(x − 1) + y + 1.

(2) (1) より α: 2x−y +z = 2 と変形できるので、直線 ℓ は (1, −1, −1) を通り方向ベクトル k = (2, −1, 1) となるのでその方程式は x = 1 + 2t, y = −1 − t, z = −1 + t. これと xy-平面 z = 0 との交点は z = −1 + t = 0 のときだから t = 1 を代入して、交点は (3, −2, 0).

(3) xy-平面の法線ベクトルは n = (0, 0, 1) であるから、ヒントより cos(\frac{π}{2} − θ) = \frac{n·k}{|n||k|} = \frac{1}{\sqrt{6}}. よって、 sin θ = cos(\frac{π}{2} − θ) = \frac{1}{\sqrt{6}}.

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。より詳しくは直接質問に来ること。尚、 [ ] 内はその問題の配点で、満点は 70 点である。