微分積分学 AD II, 数学序論演習 II 2007 年 10 月 19 日^{1}

§ 4.3 連鎖律の補足問題^{2} 3. (1) z = log(x^{2} + y^{2}), x = cos^{3} t, y = sin^{3} t のとき、 dz/dt を求めよ。

(2) z = Arcsin(x/y), x = log t, y = e^{t} のとき、 dz/dt を求めよ。

(3) w = Arctan(x^{2} + y^{2} + z^{2}), x = a cos t, y = a sin t, z = ht のとき、 dw/dt を求めよ。

(4) z = Arcsin(x/y), x = 2st, y = s^{2} + t^{2} のとき、 z_{s}, z_{t} を求めよ。

(5) z = xy, x = Arcsin(st), y = Arccos(st) のとき、 z_{s}, z_{t} を求めよ。

4. (1) R^{2} で恒等的に f_{x}(x, y) ≡ 0 であれば、 C^{1}-関数 f(x, y) は y のみの関数となることを、平均値の定理を用いて示せ。

(2) R^{2} 上の C^{1}-関数 f(x, y) が、 ab ≠ 0 なる定数 a, b に対して bf_{x} = af_{y} を満たすとする。 ax + by = u として φ(x, u) = f(x, (u − ax)/b) とおくとき φ_{x} = 0 となることを示せ。これより (1) により f(x, y) が ax + by の関数である、即ち、ある関数 h(x) があって f(x, y) = h(ax + by) とできることがわかる。

(3) R^{2} 上の C^{1}-関数 f(x, y) が xf_{x} − yf_{y} = 0 を満たすとき、 f(x, y) が xy の関数であることを示せ。

5. 次の関数に (0, 0) の近傍で n = 2 に対して Taylor の定理を適用せよ。

(1) e^{x+y}  (2) (1 − x − y)^{−1}  (3) e^{x} cos y

§ 4.5 陰関数の補足問題^{3} 6. 次の式により定まる陰関数 y の\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}} を求めよ。

(1) log \sqrt{x^{2} + y^{2}} = Arctan \frac{y}{x} (2) \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

7. 次の関係式より z_{x}, z_{y} を求めよ。

(1) \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 (a > 0, b > 0, c > 0) (2) x^{3} + y^{3} + z^{3} − 3xy = 1

8. x^{2} + 2xyz + z^{2} = 4 の点 (1, 1, 1) における接平面と法線の方程式を求めよ。

9. 次の関係式によって定まる u, v の x, y に関する偏導関数を求めよ。 x^{2} + y^{2} + u^{2} + v^{2} = a^{2}, x + y + u + v = b

10. f(x, y) は C^{1}-関数とする。

(1) 曲面 f(ax − bz, ay − cz) = 0 の接平面は一定直線に平行であることを示せ。

(2) 曲面 f(\frac{y − b}{x − a}, \frac{z − c}{x − a}) = 0 の接平面は定点を通ることを示せ。

1多くは『戸田暢茂著微分積分学要論学術図書』 , 『水本久夫著微分積分学問題集培風館』から出題している。解答が間違っていたら連絡ください。

2略解: 3. (1) − \frac{3}{2} \frac{sin 4t}{cos^{6} t+sin^{6} t} (2) (1/t − log t)/\sqrt{e^{2t} − (log t)^{2}} (3) \frac{2h^{2}t}{1+(a^{2}+h^{2}t^{2})^{2}} (4) z_{s} = \frac{s^{2}−t^{2}}{|s^{2}−t^{2}|} \frac{−2t}{s^{2}+t^{2}} , z_{t} = \frac{s^{2}−t^{2}}{|s^{2}−t^{2}|} \frac{2s}{s^{2}+t^{2}} (5) z_{s} = t(Arcsin(st) − Arccos(st))/\sqrt{1 − (st)^{2}}, z_{t} = −s(Arcsin(st) − Arccos(st))/\sqrt{1 − (st)^{2}} 4. 略 5. 0 < θ < 1 とする (1) 1 + (x + y) + \frac{1}{2!} (x + y)^{2}e^{θ(x+y)}, (2) 1 + (x + y) + \frac{1}{2!} (x + y)^{2}(1 − θ(x + y))^{−3}, (3) 1 + x + \frac{1}{2} (x^{2} cos θy − 2xy sin θy − y^{2} cos θy)e^{θx}

3略解: 6. (1) \frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x−y}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{2(x^{2}+y^{2})}{(x−y)^{3}} (2) \frac{dy}{dx} = − \frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{x}{y}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = − \frac{b^{4}}{a^{2}} \frac{1}{y^{3}} 7. (1) z_{x} = − \frac{c^{2}}{a^{2}} \frac{x}{z}, z_{y} = − \frac{c^{2}}{b^{2}} \frac{y}{z} (2) z_{x} = \frac{y−x^{2}}{z^{2}} , z_{y} = \frac{x−y^{2}}{z^{2}} 8. 接平面 2x + y + 2z = 5, 法線 x − 1 = 2(y − 1) = z − 1 9. u_{x} = \frac{v−x}{u−v}, v_{x} = \frac{x−u}{u−v}, u_{y} = \frac{v−y}{u−v}, v_{y} = \frac{y−u}{u−v} 10. (1) 直線\frac{x}{b} = \frac{y}{c} = \frac{z}{a} に平行 (2) 点 (a, b, c) を通る