微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト出題日 2007 年 8 月 3 日

• 以下を解くにあたり、定数 α > 0 に対する広義積分 ∫_{0}^{1} \frac{1}{x^{α}} dx や ∫_{1}^{∞} \frac{1}{x^{α}} dx の収束・発散の結果は証明なしで用いても構わない。

1. 次の広義積分および定積分の値を求めよ。

(1) ∫_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(2 − x)}}  (2) ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x(x^{2} + 3)}  (3) ∫_{0}^{π/2} \frac{dx}{4 − cos^{2} x}

ヒント: (3) 広義積分になることに注意して、 t = tan x と置換せよ。

2. 次の広義積分の収束・発散を判定せよ。

(1) ∫_{0}^{1} \frac{sin x}{x^{2}} dx  (2) ∫_{1}^{∞} \frac{(log x)^{100}}{x^{2}} dx  (3) ∫_{e}^{∞} \frac{dx}{x log x}

3. 広義積分∫_{π}^{∞} \frac{sin x}{x^{1/2}} dx は収束するが、絶対収束しないことを示せ。ただし、 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{1/2}} = ∞ となることは証明なしに用いて構わない。

4. 曲線 x = a cos^{3} t, y = a sin^{3} t (0 ≤ t ≤ \frac{π}{2}, a > 0) 上の点 P における接線と x-軸, y-軸との交点をそれぞれ A, B とする。ただし、接線を考えることができない 2 点 (a, 0), (0, a) を除いて考えるものとする。このとき、線分 AB の長さは点 P のとりかたによらず一定であることを示せ。

5. 曲線 |x|^{2/3} + |y|^{2/3} = a^{2/3} (a > 0) が囲む図形の面積、および、この曲線の全長を求めよ。

以上

• 8 月 7 日 (火)14:40–14:50 複合棟 412 室にて答案用紙を返却します。返却を希望するものは取に来てください。