微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト出題日 2007 年 7 月 20 日 1. 次の不定積分を求めよ。

(1) I = ∫ tan^{2} x dx  (2) I = ∫ Arccos x dx  (3) I = ∫ \frac{x^{3} − 2}{(x + 1)(x − 2)} dx
(4) I = ∫ \sqrt{\frac{1 − x}{x}} dx  (5) I = ∫ \frac{dx}{1 + tan x}  (6) I = ∫ \sqrt{e^{2x} − 2} dx

2. 次の定積分の値を求めよ。

(1) ∫_{1}^{4} \sqrt{(x − 1)(5 − x)} dx (2) ∫_{0}^{π/2} \frac{dx}{2 + cos x} (3) ∫_{0}^{π} \frac{x sin x}{1 + cos^{2} x} dx

ヒント: (3) t = π − x と置換せよ。

3. 次の極限値を求めよ。

lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 4k^{2}}}

4. 次の等式を満たす連続関数 f(x) を求めよ: f(x) = x + ∫_{0}^{2} e^{x−t}f(t) dt.

以上