微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト出題日 2007 年 7 月 6 日 1. 次の不等式を示せ:

p > 1, q > 1, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 のとき、 a > 0, b > 0 ならば、 ab ≤ \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}.

ヒント: b^{−q} = (b^{1−q})^{p} に注意せよ。

2. Arccos \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} + Arctan x = 0 (x < 0) を示せ。

3. 関数 y = \frac{2x}{1 + x^{2}} の増減、極値、上下への凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描け。 4. f(x) = sin^{3} x を [0, x] で Taylor の公式を適用するとき、 x^{5} の係数を求めよ。ただし、

Taylor の公式は n > 5 なる n まで適用したとせよ。

5. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→0} \frac{x − Arcsin x}{x^{3}} (2) lim_{x→1−0} \frac{log cos \frac{π}{2} x}{log(1 − x^{2})}

(3) lim_{x→∞} \{x − x^{2} log(1 + \frac{1}{x})\} (4) lim_{x→∞} (e^{x} − x^{a}) (a > 0)

6. Cauchy の平均値の定理を用いて次を示せ。

0 < a < b < 1, p > q > 0 ならば、\frac{b^{p} − a^{p}}{b^{q} − a^{q}} < \frac{p}{q}.