微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト出題日 2007 年 6 月 22 日

1. f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} cos \frac{1}{x} & (x > 0) \\ 0 & (x ≤ 0) \end{matrix} と定める。 f(x) は x = 0 で微分可能だが、 f′(x) は x = 0 で連続ではないことを示せ。ただし、 x → +0 のとき sin \frac{1}{x} および cos \frac{1}{x} が発散することは証明なしに用いてもかまわない。

2. 次の関数の導関数を求めよ。

(1) Arccos(sin x) (2) x^{Arctan x}

3. 次のライプニッツの公式を証明せよ:

自然数 n に対して、 f(x), g(x) が n 回微分可能であれば、

(fg)^{(n)} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(n−k)}g^{(k)}.

ここで、\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n − k)!} とし、 f^{(0)} = f, g^{(0)} = g と解釈する。

注意この問題が解けなくても、ライプニッツの公式を 4, 5 で用いて構わない。

4. 次の関数の第 n 次導関数を求めよ。ただし、 n ≥ 3 とする。

(1) (1 + x^{2})e^{2x}  (2) \frac{3x}{2x^{2} − x − 1}  (3) cos^{3} x

5. f(x) = Arcsin x について、次が成り立つことを示せ。

(1) (1 − x^{2})f′′(x) − xf′(x) = 0.

(2) (1 − x^{2})f^{(n+2)}(x) − (2n + 1)xf^{(n+1)}(x) − n^{2}f^{(n)}(x) = 0, n = 1, 2, ….

(3) f^{(2m+1)}(0) = 1^{2} · 3^{2} · · · · · (2m − 1)^{2}, m = 1, 2, ….