微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト出題日 2007 年 6 月 8 日

1. 次の逆三角関数に関する値を求めよ。

(1) Arccos( −\frac{1}{\sqrt{2}} · \frac{1}{2} − \frac{1}{\sqrt{2}} · \frac{\sqrt{3}}{2} ) (2) Arctan \frac{\sqrt{3} + 1}{1 − \sqrt{3} · 1}

2. 中間値の定理を用いて以下を示せ。

(1) f(x) が [0, 2] で連続で 0 < f(x) < 2 をみたせば、 f(x) = x は 0 ≤ x ≤ 2 において少なくとも一つ解を持つ。

(2) 三次方程式は実解をもつ。

3. lim_{t→0} \frac{sin t}{t} = 1 または lim_{t→0}(1 + t)^{1/t} = e のいずれかを用いて、次の極限を求めよ。 (1) lim_{x→0} (cos x)^{\frac{1}{1−cos x}} (2) lim_{x→0} \frac{2^{x} − 1}{x} (3) lim_{n→∞} (1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{n^{2}} )^{n}

(4) lim_{x→0} \frac{x}{Arcsin x} (5) lim_{x→1−0} \frac{(Arccos x)^{2}}{x − 1}

4. f(x) = \{ \begin{matrix}x & (x は有理数) \\ 0 & (x は無理数) \end{matrix} と定める。次を示せ。

(1) f(x) は x = 0 で連続である。

(2) a ≠ 0 とする。 f(x) は x = a で連続ではない。

5. (1) f(x) = cos x が (−∞, ∞) で一様連続であることを示せ。

(2) f(x) = sin \frac{π}{x} が (0, 1) で一様連続ではないことを示せ。