微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト出題日 2007 年 5 月 25 日

1. 第 n 項が\frac{1}{1 · 2 · 3} + \frac{1}{2 · 3 · 4} + ⋯ + \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} で与えられる数列の極限を求め

よ。ヒント: \frac{1}{n(n + 1)} − \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} を計算せよ。

2. a_{n} = 1 + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{2n − 1} とおくとき、数列 \{a_{n}\} は +∞ 発散することを示せ。

ヒント: 例えば、 a_{2n} − a_{n} > \frac{1}{4} をまず示し、\underline{数列 \{a_{n}\} が上に有界ではない}ことを示せ。単調増加することは明らかだから、これで証明が完了する。

3. 次の極限を求めよ。ただし、 lim_{t→0} \frac{sin t}{t} = 1 は既知とする。

(1) lim_{x→0} \frac{1 − cos x}{x tan x}  (2) lim_{x→1} \frac{sin πx}{x − 1}  (3) lim_{x→2−0} \frac{2x^{2} − 3x − 2}{|x^{2} − x − 2|}

(4) lim_{x→∞} ( cos \sqrt{x} − cos \sqrt{x − 1} ) (5) lim_{x→−∞} x (x + \sqrt{2 + x^{2}})

4. f(x) → A (x → a) のとき、 |f(x)| → |A| (x → a) となることを ε-δ 論法を用いて示せ。

5. x → +0 のとき sin \frac{1}{x} が収束をしないことを、 ε-δ 論法もしくは関数に関する Cauchy の収束の条件を用いて示せ。