微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト出題日 2007 年 5 月 8 日 1. 数列 {a_{n}} が α に収束し、別の数列 {b_{n}} が

|b_{n} − α| ≤ |a_{n} − α| を満たせば、 {b_{n}} も α に収束することを ε-N 論法を用いて示せ。

2. b を正数とする。次の公理 I (アルキメデスの公理) から lim_{n→∞} bn = ∞ を導け。公理 I: 正数 a, b に対し a < bN をみたす自然数 N が存在する。

3. lim_{n→∞} \sqrt[2n]{\frac{1}{(2n)!}} = 0 を証明せよ。ただし、 lim_{n→∞} \sqrt{\frac{1}{n}} = 0 は既知としてよい。

4. 0 < a < b とし、数列 {a_{n}}, {b_{n}} を a_{1} = a, b_{1} = b,

a_{n+1} = \sqrt{a_{n}b_{n}}, b_{n+1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2} n = 1, 2, …

で定義する。以下を示せ。

(1) a_{n} < b_{n}, n = 1, 2, …, を示せ。

(2) {a_{n}} が単調増加であることおよび {b_{n}} が単調減少であることを示せ。

(3) b_{n+1} − a_{n+1} ≤ \frac{1}{2}(b_{n} − a_{n}), n = 1, 2, …, を示し、 lim_{n→∞}(b_{n} − a_{n}) = 0 を示せ。

5. 数列 \{a_{n}\} を a_{1} = 1, a_{n+1} = \frac{1}{a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}} (n = 1, 2, …) と定める。

(1) 数列 {a_{n}} は下に有界な単調減少数列であることを示せ。

(2) lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。

6. a_{1} = 2, a_{n+1} = 2 + \frac{1}{2 + a_{n}} (n = 1, 2, …) によって数列 \{a_{n}\} を定める。 {a_{n}} が Cauchy の判定条件をみたすことを示し、 lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。