微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2007 年 7 月 6 日のテストの解答の要点^{1}

1 [8] ヒントより両辺を b^{q} で割ることで、 ab^{1−q} ≤ \frac{ab^{1−q}}{p} + \frac{1}{q} を示せば

よい。 f(x) = \frac{x^{p}}{p} + \frac{1}{q} − x とおくと、 f′(x) = x^{p−1} − 1 より、左の増 ; 減表を得る。よって、 f(x) ≥ 0 で、 x = ab^{1−q} を代入することで与 ; 式を得る。等号成立は a = b^{q−1} のときである。\begin{matrix}x & 0 & ⋯ & 1 & ⋯ \\ f′(x) & & − & 0 & + \\ f(x) & & ↘ & 0 & ↗ \end{matrix}

2 [8] f(x) = Arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} + Arctan x (x < 0) とおくと、 f′(x) = −_{\frac{1}{\sqrt{1− \frac{1}{1+x^{2}}}}} \frac{−2x}{2(1+x^{2})^{3/2}} + \frac{1}{1+x^{2}}

= \frac{x}{|x|(1+x^{2})} + \frac{1}{1+x^{2}} = 0 (x < 0 より)。よって、 f(x) は定数関数である。また、 f(−1) = Arccos \frac{1}{\sqrt{2}} + Arctan(−1) = \frac{π}{4} − \frac{π}{4} = 0 であるから、以上より、 f(x) = 0 (x < 0). よって、与式を得る。

3 [10] 教科書 p.64 問題 2.2 2.(2) と全く同じなので略す。

4 [7] f(x) = sin^{3} x とおく。 (sin ax)^{(5)} = a^{5} cos ax, sin^{3} x = sin x· \frac{1−cos 2x}{2} = \frac{1}{2} sin x− \frac{1}{4}(sin 3x−sin x) = −\frac{1}{4} sin 3x + \frac{3}{4} sin x より、 f^{(5)}(x) = −\frac{1}{4}3^{5} cos 3x + \frac{3}{4} cos x. よって、\frac{1}{5!}f^{(5)}(0) = −\frac{1}{2}.

5 [32] 注意^{2} (1) (与式) は\frac{0}{0} で不定形。\frac{(x−Arcsin x)′}{(x^{3})′} = ^{\frac{1−_{\frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}}}}{3x^{2}}} = \frac{\sqrt{1−x^{2}}−1}{3x^{2}\sqrt{1−x^{2}}} = \frac{−1}{3\sqrt{1−x^{2}}(\sqrt{1−x^{2}}+1)} → −\frac{1}{6} (x → 0) より l’Hôpital の定理より (与式)= −\frac{1}{6}.

(2) x = 1 − t とおくと、 x → 1 − 0 のとき t → +0 で^{3}、 (与式)= lim_{t→+0} \frac{log sin \frac{π}{2} t}{log t(2−t)} で、これは\frac{−∞}{−∞} の不定

形。\frac{(log sin \frac{π}{2} t)′}{(log t(2−t))′} = \frac{\frac{π}{2} cos \frac{π}{2} t/ sin \frac{π}{2} t}{\frac{1}{t} − \frac{1}{t−2}} = \frac{(t−2) cos \frac{π}{2} t}{−2} · \frac{\frac{π}{2} t}{sin \frac{π}{2} t} → \frac{−2}{−2} · 1 = 1 (t → +0) となるから、 l’Hôpital の定理より (与式)= 1.

(3) x = \frac{1}{t} とおくと、 x → ∞ のとき t → +0 より、 (与式)= lim_{t→+0}\{\frac{1}{t} − \frac{1}{t^{2}} log(1 + t)\} = lim_{t→+0} \frac{t−log(1+t)}{t^{2}}

で、これは\frac{0}{0} の不定形。\frac{(t−log(1+t))′}{(t^{2})′} = \frac{1− \frac{1}{1+t}}{2t} = \frac{1}{2(1+t)} → \frac{1}{2} (t → +0). よって、 l’Hôpital の定理より (与式)= \frac{1}{2}.

(4) (与式)= lim_{x→∞}e^{x}(1 − \frac{x^{a}}{e^{x}}) = lim_{x→∞}e^{x}(1 − (\frac{x}{e^{x/a}})^{a}) なので、 α := lim_{x→∞} \frac{x}{e^{x/a}} を考える。これは\frac{∞}{∞} の不定形で、\frac{(x)′}{(e^{x/a})′} = \frac{1}{\frac{1}{a} e^{x/a}} → 0 (x → ∞) となるので、 l’Hôpital の定理より α = 0. よって、 (与式)= ∞ を得る。

6 [5] f(x) = x^{p}, g(x) = x^{q} とおくと、 Cauchy の平均値の定理により、\frac{b^{p}−a^{p}}{b^{q}−a^{q}} = \frac{pc^{p−1}}{qc^{q−1}} , a < c < b となる c が存在する。ここで、 0 < c < 1, p > q > 0 に注意すると、\frac{f′(c)}{g′(c)} = \frac{p}{q}c^{p−q} < \frac{p}{q}. 以上より、与式は成立する。

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。より詳しくは直接質問に来ること。尚、 [ ] 内はその問題の配点で、満点は 70 点である。

2不定形であることを断らずに l’Hôpital の定理を用いた場合、一回につき 3 点減点した。 3t → 0 ではないことに注意せよ。 t < 0 のとき、分母分子ともに定義されない。