3.3.1 定数係数斉次方程式の別証明

この節では斉次方程式 (3.19) で特に係数 a_{1}, …, a_{n} が定数の場合を考える。このとき、方程式は P (D)x = 0 と表せる。ただし、 D = \frac{d}{dt},

P (λ) = λ^{n} + a_{1}λ^{n−1} + ⋯ + a_{n−1}λ + a_{n}

とした。これが (3.11) のように P (λ) = (λ − λ_{1})^{m_{1}} ⋯ (λ − λ_{r})^{m_{r}} と変形できたとする^{1}。ただし、 λ_{j} (j = 1, …, r) は P (λ) の根で m_{j} はその重複度で m_{1} + ⋯ + m_{r} = n である。このとき、次が成立する。

定理 0.1 方程式 P (D)x = 0 の解は、次の n 個の関数

e^{tλ_{1}}, te^{tλ_{1}}, ⋯, t^{m_{1}−1}e^{tλ_{1}} ; e^{tλ_{2}}, te^{tλ_{2}}, ⋯, t^{m_{2}−1}e^{tλ_{2}} ; ⋯; e^{tλ_{r}}, te^{tλ_{r}}, ⋯, t^{m_{r}−1}e^{tλ_{r}}  (0.1)

の一次結合で表せる。

命題 0.2 方程式 (D−λ)^{m}x = 0 の解からなる空間 V = {x; (D−λ)^{m}x = 0} の基底は e^{tλ}, te^{tλ}, ⋯, t^{m−1}e^{tλ} からなる。

証明: 命題 3.17 の前にかいたことから、 dim V = m であるから、 x_{j} = \frac{t^{j}}{(j−1)!}e^{tλ} (j = 1, …, m) が (D − λ)^{m}x_{j} = 0 (j = 1, …, m) を満たし、それが一次独立であることを示せばよい。これは、

(D − λ)^{j}x_{j} = (D − λ)^{j−1}\{\frac{t^{j−2}}{(j − 2)!}e^{tλ} + \frac{t^{j−1}}{(j − 1)!}λe^{tλ} − λ\frac{t^{j−1}}{(j − 1)!}e^{tλ}\} = (D − λ)^{j−1}x_{j−2}
= ⋯ = (D − λ)x_{1} = λe^{λt} − λe^{λt} = 0,  j = 1, 2 …, m,

となることおよび、 y_{1} = 1, y_{2} = \frac{t}{1!}, ⋯, y_{m} = \frac{t^{m−1}}{(m−1)!} の Wronskian を計算すると 1 となるから命題 3.17 から従う。 □

命題 0.3 λ の多項式 P_{1}(λ), …, P_{r}(λ) のどの 2 つも共通の根をもたないとする。このとき

V_{j} := { x; P_{j}(D)x = 0 } (j = 1, …, r); V_{0} := { x; P_{1}(D) ⋯ P_{r}(D)x = 0 }

の間には V_{0} = V_{1} ⊕ ⋯ ⊕ V_{r} という関係式が成立する。

証明:^{2} r = 2 で示す。 (一般の場合はそれを繰り返し用いればよい。 ) どの 2 つも共通の根をもたないから、ある多項式 h_{1}, h_{2} が存在して

P_{1}(λ)h_{1}(λ) + P_{2}(λ)h_{2}(λ) ≡ 1

とすることができる。 λ として D を代入すると

P_{1}(D)h_{1}(D) + P_{2}(D)h_{2}(D) = 1.  (0.2)

よって、 ∀x に対し x_{1} = P_{2}(D)h_{2}(D)x, x_{2} = P_{1}(D)h_{1}(D)x とすると、 x = x_{1} + x_{2} となる。このとき、

P_{1}(D)x_{1} = h_{2}(D){P_{1}(D)P_{2}(D)x} = 0, P_{2}(D)x_{2} = h_{1}(D){P_{1}(D)P_{2}(D)x} = 0

となり、 x_{1} ∈ V_{1}, x_{2} ∈ V_{2} を得る。次に分解の一意性を示す。 x ∈ V_{0} に対し

x = x_{1} + x_{2} = y_{1} + y_{2}, x_{1}, y_{1} ∈ V_{1}, x_{2}, y_{2} ∈ V_{2}

とできたとする。このとき、 z := x_{1} − y_{1} = y_{2} − x_{2} ∈ V_{1} ∩ V_{2} であるから (0.2) により z = h_{1}(D)P_{1}(D)z + h_{2}(D)P_{2}(D)z = 0. □

定理 0.1 の証明: V = {x; P (D)x = 0}, V_{k} = {x; (D−λ_{k})^{m_{k}}x = 0} とおくと、命題 0.3 から V = V_{1}⊕⋯⊕V_{r} となるが、命題 0.2 に注意すると (0.1) は各 V_{k} の基底を並べたものとなるから、主張は従う。 □

1定数係数であるから、一般に多項式 f(λ), g(λ) に対して f(D)g(D) = g(D)f(D) となることに注意する。もし定数係数でなければこの等式は成立しない。例: \frac{d}{dt} t \frac{d}{dt} x = \frac{dx}{dt} + t \frac{d^{2}x}{dt^{2}} , t \frac{d}{dt} \frac{d}{dt} x = t \frac{d^{2}x}{dt^{2}} となるので\frac{d}{dt} (t \frac{d}{dt}) ≠ t \frac{d}{dt} \frac{d}{dt}.

2証明は補題 3.16 とほぼ同じである。