(IV) 全微分型方程式の補足

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0  (0.1)

もし C^{1}-級関数 φ(x, y) で

∂φ/∂x = P,  ∂φ/∂y = Q  (0.2)

なるものが見つかれば、 φ の全微分は

dφ = \frac{∂φ}{∂x}dx + \frac{∂φ}{∂y}dy = P dx + Qdy = 0

となり、等高線 φ(x, y) = c がこの微分方程式の一般解となる。このように、 (0.2) を満たす関数 φ が存在するとき、微分方程式 (0.1) は全微分型 (または完全型) という。

この方程式の解法を説明するため線積分を復習しよう。

定義 0.1 xy 平面の領域 D での連続関数 P (x, y), Q(x, y) と D 内の C^{1} 級曲線

C : x = x(t), y = y(t) (a ≤ t ≤ b)

を考える。ただし、 (x(a), y(a)) から (x(b), y(b)) に向け付ける。このとき、 C に沿っての線積分を

∫_{C} P (x, y) dx = ∫_{a}^{b} P (x(t), y(t))x′(t) dt, ∫_{C} Q(x, y) dy = ∫_{a}^{b} Q(x(t), y(t))y′(t) dt
∫_{C} P (x, y) dx + Q(x, y) dy = ∫_{C} P (x, y) dx + ∫_{C} Q(x, y) dy

と定める。曲線 C が C^{1} 級曲線 C_{1}, …, C_{l} をつないだ曲線 (C = C_{1} + ⋯ + C_{l} とかく) のときには、

∫_{C} P (x, y) dx + Q(x, y) dy = ∑_{j=1}^{l} ∫_{C_{j}} P (x, y) dx + Q(x, y) dy

とする。

注意 0.1 (1) 線積分 ∫_{C} P (x, y) dx + Q(x, y) dy は曲線 C のパラメータのとり方によらない。

(2) C の向きを逆にした曲線を −C で表す。このとき、

∫_{−C} P (x, y) dx + Q(x, y) dy = − ∫_{C} P (x, y) dx + Q(x, y) dy

となる。

定理 0.1 (Green の定理) 有限個の区分的に滑らかな単純閉曲線からなる境界 C をもった有界閉領域を K とし、 K ⊂ D とする。このとき、 P (x, y), Q(x, y) が D で C^{1} 級であれば

∫_{C} P (x, y) dx + Q(x, y) dy = ∫∫_{K}(\frac{∂Q}{∂x} − \frac{∂P}{∂y} ) dxdy

となる。ただし、 C は正の向き、即ち、 K の内部を左側に見るように回るものとする。

証明: ∫_{C} P dx = − ∫∫_{K} \frac{∂P}{∂y} dxdy について。縦線領域 K : φ_{1}(x) ≤ y ≤ φ_{2}(x), a ≤ x ≤ b の場合に示す。

∂K = C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}, ただし、 C_{1} : x = t, y = φ_{1}(t) (a ≤ t ≤ b), C_{2} : x = b, y = t (φ_{1}(b) ≤ t ≤ φ_{2}(b)), −C_{3} : x = t, y = φ_{2}(t) (a ≤ t ≤ b), −C_{4} : x = a, y = t (φ_{1}(a) ≤ t ≤ φ_{2}(a)) とできるので、 C_{2}, C_{4} のとき x′ = 0 に注意すれば、次を得る。

∫_{C} P dx = ∫_{a}^{b} P (t, φ_{1}(t)) dt − ∫_{a}^{b} Q(t, φ_{2}(t)) dt = ∫_{a}^{b}(− ∫_{φ_{1}(t)}^{φ_{2}(t)} \frac{∂P}{∂y} (t, s) ds) dt = ∫∫_{K} \frac{∂P}{∂y} (t, s) dtds

一般の K の場合は K を縦線領域に分割すればよい。 ∫_{C} Q dy = ∫∫_{K} \frac{∂Q}{∂x} dxdy も同様に示せる。 □ 問 0.1 次の線積分を求めよ。^{1}

(1) ∫_{C} y dx + x^{2} dy, C は (a) x = t, y = t^{2} (0 ≤ t ≤ 1) (b) x = t^{2}, y = t (0 ≤ t ≤ 1)

(2) ∫_{C} x^{2} dx + y^{2} dy, C は x^{2} + y^{2} = 1 上を (1, 0) から (−1, 0) へ (a) y ≥ 0, (b) y ≤ 0

(3) ∫_{C} \frac{−y}{x^{2} + y^{2}} dx + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} dy, C は x^{2} + y^{2} = 1 上を (1, 0) から (−1, 0) へ (a) y ≥ 0, (b) y ≤ 0

(4) ∫_{C} e^{x} cos y dx − e^{x} sin y dy, C は x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0) で正の向き

命題 0.2 単連結領域 Ω ⊂ ℝ^{2} 上で関数 P, Q が C^{1}-級とする。このとき、 (0.2) を満たす C^{2}-関数 φ が存在するための必要十分条件は、

\frac{∂P}{∂y} = \frac{∂Q}{∂x}  (0.3)

となることである。特に、このとき 3 点 (x_{0}, y_{0}), (x_{0}, y), (x, y) を順に結ぶ折れ線が Ω に含まれるならば、

φ(x, y) = ∫_{x_{0}}^{x} P (s, y) ds + ∫_{y_{0}}^{y} Q(x_{0}, t) dt  (0.4)

と φ を定義すれば、 φ(x, y) = c が微分方程式 (0.1) の解となる。

証明: もし (0.2) を満たす関数 φ が存在すれば、 (0.3) を満たすことは φ が C^{2}-級より明らかである。逆に、 (0.3) を満たすとする。このとき、 (x_{0}, y_{0}) ∈ Ω を固定し、 (x, y) ∈ Ω をとる。 C を (x_{0}, y_{0}), (x, y) を Ω 内で結ぶ経路 (区分的滑らかな曲線) とすると、線積分 ∫_{C} P (s, t)ds + Q(s, t)dt は、 (x, y) のみで決まり経路 C によらない。実際、 C′ をもう一つの経路とし、 K ⊂ Ω を ∂K = C − C′ となるように決める。 Ω が単連結であるので K ⊂ Ω となる。このとき、 C − C′ が正の向きであれば、 Green の定理を適用して、

∫_{C} P (s, t)ds + Q(s, t)dt − ∫_{C′} P (s, t)ds + Q(s, t)dt = ∫∫_{K}(\frac{∂Q}{∂x} − \frac{∂P}{∂y} ) dsdt = 0

となる。正の向きでなければ ∂K = C′ − C として考えればよい。よって、

φ(x, y) = ∫_{C} P (s, t)ds + Q(s, t)dt

と定義できる。次に、この φ が (0.2) を満たすことを示すために、 C を修正する。 δ > 0 を U := {(s, t); |s−x| ≤ δ, |t − y| ≤ δ} ⊂ Ω となるように選び、 C と ∂U の交点を (x_{1}, y_{1}) とし、 C の (x_{0}, y_{0}) から (x_{1}, y_{1}) までの部分を C_{1}、 3 点 (x_{1}, y_{1}), (x_{1}, y), (x, y) を順に結ぶ折れ線を C_{2} とする。このとき、

φ(x, y) = ∫_{C_{1}} P (s, t)ds + Q(s, t)dt + ∫_{C_{2}} P (s, t)ds + Q(s, t)dt
= φ(x_{1}, y_{1}) + ∫_{x_{1}}^{x} P (s, y) ds + ∫_{y_{1}}^{y} Q(x_{1}, t) dt

となる。これより、 ∂φ/∂x = P は明らか。一方、

\frac{∂φ}{∂y}(x, y) = ∫_{x_{1}}^{x} \frac{∂P}{∂y} (s, y) ds + Q(x_{1}, y) = ∫_{x_{1}}^{x} \frac{∂Q}{∂x}(s, y) ds + Q(x_{1}, y)
= Q(x, y) − Q(x_{1}, y) + Q(x_{1}, y) = Q(x, y)

となるので、 φ が (0.2) をみたすことがわかった。この φ が C^{2}-級であることは明らか。 (0.4) については、上記証明で (x_{0}, y_{0}) = (x_{1}, y_{1}) の場合であるので証明は完了した。 □

1戸田著微分積分学要論学術図書 p.277 より問題 0.1 解答: (1) (a) 5/6 (b) 13/15, (2) (a) −2/3 (b) −2/3, (3) (a) π (b) −π, (4) 0 (hint: Green の定理を用いよ)