微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2007 年 5 月 18 日^{1} § 1.3 連続関数の補足問題 (続き) ^{2}

17. (中間値の定理の問題) 以下を示せ。

(1) f(x) が [0, 1] で連続で 0 < f(x) < 1 をみたせば、 f(x) = x は 0 ≤ x ≤ 1 において少なくとも一つ解を持つ。

(2) f(x) が有界閉区間 I = [a, b] で連続ならば、 f(c) = \frac{f(a)+f(b)}{2} を満たす c ∈ I が存在する。

(3) f(x) が [−1, 1] で連続であって f(1) = f(−1) = 0 ならば、原点を通る直線は y = f(x) のグラフと必ず交わる。

18. 次の極限値を求めよ。ただし、 a ∈ ℝ, b > 0 とする。

(1) lim_{x→0}(1 + ax)^{1/x}  (2) lim_{x→0}(1 + x + x^{2})^{1/x}  (3) lim_{x→0} \frac{b^{x} − 1}{x}  (4) lim_{n→∞} n(b^{1/n} − 1)
(5) lim_{x→0}(1 + sin x)^{1/x}  (6) lim_{n→∞}(cos \frac{1}{n})^{n^{2}}  (7) lim_{x→0} \frac{1}{x^{2}} (2 log(1 + x) − log(1 + 2x))
(8) lim_{x→0} \frac{Arcsin x}{x}  (9) lim_{x→1} \frac{(Arccos x)^{2}}{x − 1}  (10) lim_{x→0} \frac{Arctan x}{x}

§ 2.1 導関数の補足問題^{3}

19. 次の関数の導関数を求めよ。

(1) Arccos(sin x)  (2) Arcsin(cos x)  (3) Arctan x + Arctan \frac{1}{x}

(4) Arcsin(2x\sqrt{1 − x^{2}}) (5) Arctan \sqrt{\frac{1 − cos x}{1 + cos x}}

20. 次の関数の n 次導関数を求めよ。 (ただし、 a, b は定数。 )

(1) e^{ax+b}  (2) \frac{1}{x^{2} + 3x + 2}  (3) e^{x} cos x  (4) sin^{3} x  (5) cos ax sin bx  (6) x^{n−1} log x

§ 2.2 平均値の定理とテイラーの定理の補足問題^{4}

21. 平均値の定理を用いて次を示せ。

(1) Arcsin x + Arccos x = \frac{π}{2} (−1 ≤ x ≤ 1) (2) Arctan x + Arctan \frac{1}{x} = \{ \begin{matrix}π/2 & (x > 0) \\ −π/2 & (x < 0) \end{matrix}

(3) Arccos(sin x) = \frac{π}{2} − x (|x| ≤ \frac{π}{2} ) (4) Arccos \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} = Arctan x (x > 0)

(5) Arcsin \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = Arctan x (x ∈ ℝ) (6) tan (\frac{1}{2} Arcsin x) = \frac{\sqrt{1 + x} − \sqrt{1 − x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 − x}} (−1 ≤ x ≤ 1)

18. (1) e^{a} (2) e (3) log b (4) log b (5) e (6) e^{−1/2} (7) 1 (8) 1 (9) −1/2 (10) 1

(5) \frac{1}{2} [(a + b)^{n} sin \{(a + b)x + \frac{nπ}{2} \} + (b − a)^{n} sin \{(b − a)x + \frac{nπ}{2} \}] (6) \frac{(n−1)!}{x}

1http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/˜ sugiura/index.html からもダウンロードできます。 2略解: 17. (1) φ(x) = f(x) − x とおく。仮定より φ(0) > 0, f(1) < 0 となるので、中間地の定理より φ(c) = 0 となる [0, 1] の点 c がある。このとき、 f(c) = c となり、この c が解である。 (2), (3) は野本・岸著「解析演習」サイエンス社 p.41–42 を見よ。

3略解: 19. (1) − \frac{cos x}{| cos x|} (2) \frac{sin x}{| sin x|} (3) 0 (4) \frac{2(1−2x^{2})}{|1−2x^{2}|\sqrt{1−x^{2}}} (5) 1/2 (x > 0), −1/2 (x < 0), 20 (1) a^{n}e^{ax+b} (2) (−1)^{n}n! \{(x + 1)^{−n−1} − (x + 2)^{−n−1}\} (3) 2^{\frac{n}{2}} e^{x} cos (x + \frac{nπ}{4} ) (4) \frac{1}{4} \{3 sin (x + \frac{nπ}{2} ) − 3^{n}3 sin (3x + \frac{nπ}{2} )\}

4略解: 21. 教科書 p.56 の定理 2.9 を用いる。例えば (1) は、 f(x) = Arcsin x + Arccos x と −1 ≤ x < 1 に対し、 f(x)

は (−1, x) で微分可能で [−1, x] で連続だから、平均値の定理により f(x) − f(1) = f′(c), −1 < c < x とできる。ここで f′(x) = \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} − \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} = 0 であるから f′(c) = 0. よって、 f(x) = f(1) = π/2 と、証明できる。