微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2007 年 4 月 27 日^{1}

§ 1.1 数の基本性質と数列の極限の補足問題^{2}

1. b を正数とする。公理 I (Archimedes の公理) から次を示せ。

(1) lim_{n→∞} \frac{b}{\sqrt{n}} = 0 (2) lim_{n→∞} bn = ∞

2. 数列 {a_{n}} が α に収束するとき、 lim_{n→∞} |a_{n}| = |α| を示せ。

3. S ⊂ R, S ≠ ∅ とするとき、次を示せ。

(1) S が上に有界であるならば、任意の ε > 0 に対してある a ∈ S が存在して a > sup S − ε とできる。

(2) S が下に有界であるならば、任意の ε > 0 に対してある a ∈ S が存在して a < inf S + ε とできる。

4. (1) a_{1} = 2, a_{n+1} = (a_{n}^{2} + 1)/2 (n ∈ N) とする。 {a_{n}} が上に有界な単調増加数列であることを示し、 lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。

(2) a_{1} = 1, a_{n+1} = 1/(a_{1} + ⋯ + a_{n}) (n ∈ N) とする。 {a_{n}} が下に有界な単調減少数列であることを示し、 lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。

5. 次の数列 {a_{n}} が Cauchy 列であることを示し lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。

(1) a_{1} = 1, a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_{n} + 1}  (n ∈ N)

(2) α > 0, β > 0, α + β = 1 とし、 a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n} = αa_{n−1} + βa_{n−2} (n = 3, 4, …)

6. 数列 {a_{n}} が α に収束するとし、自然数からなる数列 {m_{k}} が ∞ に発散するとする。このとき、 lim_{k→∞} a_{m_{k}} = α を示せ。注意: これより特に、数列 {a_{n}} の部分列 {a_{n_{k}}} も α に収束する。

§ 1.3 連続関数の補足問題^{3}

7. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→∞} (a^{x} + b^{x} + c^{x})^{1/x} (0 < a < b < c) (2) lim_{x→−∞} (a^{x} + b^{x} + c^{x})^{1/x} (0 < a < b < c)

8. 逆三角関数について次を示せ。

(1) Arcsin x + Arccos x = \frac{π}{2} , −1 ≤ x ≤ 1.

(2) 2 Arctan \frac{1}{3} + Arctan \frac{1}{7} = \frac{π}{4} (3) 4 Arctan \frac{1}{5} − Arctan \frac{1}{239} = \frac{π}{4}

1http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/˜ sugiura/index.html からもダウンロードできます。 2略解: 1. 定理 1.5 の証明を真似ればよいので略す。 2. ||a_{n}| − |α|| ≤ |a_{n} − α| に注意して ε-N 論法を用いよ。 3. (1) 背理法により示す。 sup S = α とかく。ある ε_{1} > 0 があって任意の a ∈ S に対し a ≤ α − ε_{1} となると仮定する。これは、 α − ε_{1} が S の上界となることを意味するので、これは sup S = α と矛盾する。 (2) も同様に証明できる。 4, 5 は野本・岸著「解析演習」サイエンス社 pp.14–15 を見よ。 6 ε > 0 を任意にとる。仮定より、ある N ∈ N があって、 n ≥ N ならば |a_{n} − α| < ε とできる。さらに、 lim_{k→∞} m_{k} = ∞ より、ある K ∈ N があって、 k ≥ K ならば m_{k} > N とできる。これを併せて、 k ≥ K ならば |a_{m_{k}} − α| < ε となるから、証明は完了した。

3略解: 7. (1) c < (a^{x} + b^{x} + c^{x})^{1/x} < 3^{1/x}c と lim_{x→∞} 3^{1/x} = 1 より、 (与式)= c. (2) y = −x とおき (1) に帰着し計算することで、 (与式)= a を得る。 8 は野本・岸著「解析演習」サイエンス社 pp.30–31 を見よ。 ((2) は自分で考えてください。 )