微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 5 回目出題日 2007 年 2 月 13 日

1. 曲線 4(2x + y)^{2} + y^{2} = 4 によって囲まれた部分の面積を求めよ。

2. 次に示された R^{3} の部分の体積を求めよ。

0 ≤ z ≤ Arctan \frac{y}{x}, 1 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 4, \frac{1}{\sqrt{3}}x ≤ y ≤ \sqrt{3}x

3. 球面 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 が x^{2} + y^{2} = x によって切り取られる部分の表面積を求めよ。 4. 次の線積分を求めよ。ただし、 (2), (3) において C には正の向きが与えられている

とする。

(1) ∫_{C} y dx + 2x dy, C : x = cos t, y = sin t, (0 ≤ t ≤ π)

(2) ∫_{C} x^{2}y dx + y^{3} dy, C は y = \sqrt{x} と y = x^{2} の囲む部分の境界

(3) ∫_{C} \frac{−y}{x^{2} + y^{2}} dx + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} dy, C は (x − 1)^{2} + y^{2} = 9

(ヒント： K を (x − 1)^{2} + y^{2} ≤ 9, x^{2} + y^{2} ≥ 1 として Green の定理を用いることで、 C が x^{2} + y^{2} = 1 の場合に帰着せよ。 )

5. 次の微分方程式を解け。

(1) (x − 1) \frac{dy}{dx} + 2y = 0
(2) (x + y)^{2} \frac{dy}{dx} = 2y^{2}
(3) \frac{dy}{dx} = −\frac{y}{x + 1} + log(x + 1)

(ヒント： (2) は同次形、 (3) は 1 階線形方程式。 ) 連絡 2 月 17 日 (金) 14:45 から答案用紙を返却するので、返却を希望する者は複合棟 412

室 (いつもの講義室) に受け取りに来ること。