微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 4 回目出題日 2007 年 1 月 30 日

1. 次の重積分の値を求めよ。

(1) ∫∫_{D} xy dx dy D : 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ x^{2} + y, 0 ≤ y − x + 2
(2) ∫∫_{K} \sqrt{y} dx dy K : x^{2} + y^{2} ≤ 4y
(3) ∫∫_{D} log \frac{y}{x^{2}} dx dy D : 1 ≤ x ≤ y ≤ e
(4) ∫∫_{K}(x^{2} + y^{2})e^{−x−y} dx dy K : 0 ≤ x + y ≤ 1, −1 ≤ x − y ≤ 1
(5) ∫∫_{K}(x^{2} + y^{2}) dx dy K : (x^{2} + y^{2})^{2} ≤ y^{2} − x^{2}
(6) ∫∫∫_{T} \sqrt{1 − (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}} dx dy dz T : 0 ≤ x, 0 ≤ y, 0 ≤ z, x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1

2. 次の広義積分を求めよ。ただし、増加近似列を明記していない解答は 0 点とする。

(1) ∫∫_{D} \frac{1}{(x + y)^{5}} dx dy D : 1 ≤ x, 1 ≤ y
(2) ∫∫_{D} log(1 − x^{2} − y^{2}) dx dy D : x^{2} + y^{2} < 1

ただし、 lim_{s→+0} s log s = 0 は証明なしに用いても構わない。