微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 3 回目出題日 2007 年 1 月 9 日 1. 次の関数の極値を求めよ。

(1) x^{2} + xy + y^{2} + x + y (2) x^{2} − 2xy^{2} + y^{4} − y^{5}

2. log \sqrt{x^{2} + y^{2}} = Arctan \frac{y}{x} によって定まる陰関数 y の\frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}} を求めよ。

3. x^{2} + 2y^{2} + 5z^{3} − 2xy − 2yz = 4 によって定まる x, y の関数 z を考える。

(1) z_{x}, z_{y} を求めよ。

(2) z の極値を求めよ。

4. x^{2} + y^{2} + u^{2} + v^{2} = 1, xy + uv = 1 によって定まる関数 u, v の x, y に関する偏導関数を求めよ。

5. 4x^{2} + y^{2} = 4 のとき、 x^{3} + y^{3} の最大値、最小値を求めよ。

6. t を媒介変数とする直線群 x cos t + y sin t = p (p > 0) の包絡線を求めよ。以上