微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 2 回目出題日 2006 年 11 月 28 日

1. 極限 lim_{(x,y)→(1,0)} \frac{x^{2} + y^{2} + 3x − 4y − 4}{\sqrt{(x − 1)^{2} + y^{2}}} は存在するか? 存在すればそれを求め、存

在しなければそれを示せ。

2. f(x, y) = \sqrt{|xy|} とおく。

(1) f(x, y) が点 (0, 0) において連続であり、また、偏微分可能であることを示せ。 (2) f(x, y) が点 (0, 0) において全微分可能ではないことを示せ。

3. 関数 z = x^{2} + xy − y^{3} の表す曲面上の点 (1, 1, 1) における接平面の方程式を求めよ。また、点 (6, 2, 0) を通りこの平面に垂直な直線の方程式を求め、点 (6, 2, 0) からこの平面までの距離を求めよ。

4. z = \frac{1}{\sqrt{4πt}}e^{− \frac{x^{2}}{4t}} とする。このとき、 z_{t}, z_{xx} を求め、 z_{t} = z_{xx} を示せ。

5. z = f(x, y) の 2 次偏導関数は f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy} の 4 通りあるが、もし f(x, y) が C^{2} 級であれば f_{xy} = f_{yx} となるため 3 通りとなる。では、 w = f(x, y, x) が C^{n} 級であればその n 次偏導関数は何通りあるか。求めよ。

6. (1) w = Arctan(x^{2} + y^{2} + z^{2}), x = a cos t, y = a sin t, z = ht のとき、\frac{dw}{dt} を求めよ。ただし、 a, h は定数とする。

(2) z = xy, x = Arcsin uv, y = Arccos uv のとき、\frac{∂z}{∂u} を求めよ。

7. f(x, y) = e^{2x} cos 3y について点 (0, 0), n = 6 に対して Taylor の定理を適用したと

きの、 x^{3}y^{2} の係数を求めよ。以上