微分積分学 AD II, 数学序論演習 II テスト 1 回目出題日 2006 年 11 月 7 日注意定数 γ に対する ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{γ}} の発散・収束などの定理は証明なしに用いても構わない。 1. 次の級数が絶対収束か条件収束か発散かを調べよ。

(1) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n^{2} − 1}}  (2) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{n^{3} − 3n^{2} + 3}  (3) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} log (1 + \frac{1}{n})
(4) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{n}}{(n!)^{2}}  (5) ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n−1} sin^{2} \frac{1}{n}  (6) ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} (\sqrt[3]{n + 1} − \sqrt[3]{n})

2. f_{n}(x) = n^{p}x^{2}e^{−nx} とする。このとき、関数列 {f_{n}(x)} が I = [0, 1] 上で一様収束するような実数 p の範囲を決定せよ。

3. 次のべき級数の収束半径を求めよ。

(1) ∑_{n=1}^{∞} (1 − \frac{1}{n})^{n^{2}} x^{n} (2) ∑_{n=0}^{∞} \frac{(n!)^{3}}{(3n)!}x^{n} (3) ∑_{n=1}^{∞} n2^{n}x^{3n}

4. フィボナッチの数列 {a_{n}}: a_{0} = a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + a_{n−1} (n ≥ 1) によってでき

るべき級数

∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} = 1 + x + 2x^{2} + 3x^{3} + 5x^{4} + ⋯

の収束半径を求めよ。また、この和 f(x) を求めよ。

5. f(θ) = ∑_{n=1}^{∞} a^{n} sin nθ とおくとき、次を示せ。 (0 < a < 1)

(1) 右辺の級数は θ に関して [0, 2π] で一様収束している。

(2) f(θ) は微分可能で、 f′(θ) = ∑_{n=1}^{∞} na^{n} cos nθ.

(3) (a) f(θ) = \frac{a sin θ}{1 − 2a cos θ + a^{2}} , (b) ∫_{0}^{2π} \frac{sin θ sin kθ}{1 − 2a cos θ + a^{2}} dθ = πa^{k−1} (k ∈ N)