微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2007 年 1 月 9 日の試験の解答の要点^{1}

1 [5+10] (1) f(x, y) = x^{2}+xy+y^{2}+x+y とおくと、 f_{x} = 2x+y+1, f_{y} = x+2y+1, f_{xx} = 2, f_{xy} = 1, f_{yy} = 2. f_{x} = f_{y} = 0 より x = y = −\frac{1}{3} でこれが極値の候補となる。このとき H = f_{xx}f_{yy} − f_{xy}^{2} = 3 > 0, f_{xx} > 0 となるから、 (x, y) = (−\frac{1}{3}, −\frac{1}{3}) のとき極小値 −\frac{1}{3} をとる。

(2) f(x, y) = x^{2} − 2xy^{2} + y^{4} − y^{5} とすると、 f_{x} = 2x − 2y^{2}, f_{y} = −4xy + 4y^{3} − 5y^{4}, f_{xx} = 2, f_{xy} = −4y, f_{yy} = −4x + 12y^{2} − 20y^{3}. f_{x} = f_{y} = 0 より x = y = 0 でこれが極値の候補となる。このとき H = f_{xx}f_{yy} − f_{xy}^{2} = 0 となり、これでは極値かわからない。しかし、 (x, y) = (t^{2}, t) とおくと f(t^{2}, t) = −t^{5} となり、 t > 0 なら f(t^{2}, t) < 0, t < 0 なら f(t^{2}, t) > 0 となる。よって、 (x, y) = (0, 0) の近くで正にも負にもなるので、これは極値ではない。以上より、極値は存在しない。

2 [15] 与式の両辺を x で微分して\frac{1}{2} \frac{2x+2yy′}{x^{2}+y^{2}} = \frac{1}{1+( \frac{y}{x})^{2}} · (\frac{y′}{x} − \frac{y}{x^{2}} ) = \frac{xy′−y}{x^{2}+y^{2}} . よって、 (x − y)y′ = x + y (⋯

�とする) となり、 y′ = \frac{x+y}{x−y} を得る。

�の両辺をさらに x で微分して、 (1 − y′)y′ + (x − y)y′′ = 1 + y′. よって、 y′′ = \frac{1+(y′)^{2}}{x−y} = \frac{2(x^{2}+y^{2})}{(x−y)^{3}}.

3 [6+14] (1) 両辺を x で偏微分して 2x + 15z^{2}z_{x} − 2y − 2yz_{x} = 0 (⋯ �). よって、 z_{x} = \frac{2y−2x}{15z^{2}−2y}. 両辺を y で偏微分して 4y + 15z^{2}z_{y} − 2x − 2(z + yz_{y}) = 0 (⋯ �). よって、 z_{y} = \frac{2x+2z−4y}{15z^{2}−2y}.

(2) z_{x} = z_{y} = 0 より、 y − x = 0, x + z − 2y = 0. これと与式からなる 3 元 2 次方程式を解くと、実数解は (x, y, z) = (1, 1, 1) のみ。 z_{xx} を求めるために、�をさらに x で偏微分して、 2+30zz_{x}^{2}+15z^{2}z_{xx}−2yz_{xx} = 0. よって、 z_{xx} = \frac{−2−30zz_{x}^{2}}{15z^{2}−2y} (注^{2})。次に�を y で偏微分して、 30zz_{y}z_{x}+15z^{2}z_{xy}−2−2z_{x}−2yz_{xy} = 0. よって、

z_{xy} = \frac{2+2z_{x}−30zz_{x}z_{y}}{15z^{2}−2y}. �を y で偏微分して、 4+30zz_{y}^{2}+15z^{2}z_{yy}−4z_{y}−2yz_{yy} = 0 より z_{yy} = \frac{4z_{y}−4−30zz_{y}^{2}}{15z^{2}−2y}. H = z_{xx}z_{yy} − z_{xy}^{2} とおく。 (x, y) = (1, 1) のとき z = 1 だから、 H = \frac{−2}{15−2} \frac{−4}{15−2} − (\frac{2}{15−2})^{2} = \frac{4}{13^{2}} > 0 で z_{xx} = −\frac{2}{13} < 0 より極大。以上より、 z は (x, y) = (1, 1) のとき極大値 1 をとる。

4 [10] 第 1 式を偏微分して、 2x + 2uu_{x} + 2vv_{x} = 0, 2y + 2uu_{y} + 2vv_{y} = 0. 第 1 式を偏微分して、

y + vu_{x} + uv_{x} = 0, x + vu_{y} + uv_{y} = 0. これを行列で表示して (\begin{matrix}u & v \\ v & u \end{matrix}) (\begin{matrix}u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix}−x & −y \\ −y & −x \end{matrix}). よっ

て、 (\begin{matrix}u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y} \end{matrix}) = \frac{1}{u^{2}−v^{2}} (\begin{matrix}u & −v \\ −v & u \end{matrix}) (\begin{matrix}−x & −y \\ −y & −x \end{matrix}) = \frac{1}{u^{2}−v^{2}} (\begin{matrix}yv − xu & xv − yu \\ xv − yu & yv − xu \end{matrix}).

以上より、 u_{x} = \frac{yv−xu}{u^{2}−v^{2}}, u_{y} = \frac{xv−yu}{u^{2}−v^{2}}, v_{x} = \frac{xv−yu}{u^{2}−v^{2}}, v_{y} = \frac{yv−xu}{u^{2}−v^{2}}.

5 [10] f(x, y) = x^{3} + y^{3}, g(x, y) = 4x^{2} + y^{2} − 4 とおく。 {(x, y); g(x, y) = 0} は有界閉集合で f(x, y) は連続なのでその最大値・最小値は必ず存在し、それは広義の極値となる。広義の極値を (a, b) とする。 Lagrange の未定乗数法より、ある λ が存在して 4a^{2} + b^{2} = 4, 3a^{2} + λ · 8a = 0, 3b^{2} + λ · 2b = 0. これを解いて (a, b, λ) = (0, ±2, ∓3), (±1, 0, ∓\frac{3}{8}), (±\frac{8}{\sqrt{65}}, ±\frac{2}{\sqrt{65}}, ±\frac{3}{\sqrt{65}}) (複合同順、以降も同様^{3})。このとき、 f(a, b) の値は順に ±8, ±1, ±\frac{8}{\sqrt{65}}. 以上より、 (x, y) = (0, 2) のとき最大値 8, (x, y) = (0, −2) のとき最小値 −8 をとる。別解: x = cos θ, y = 2 sin θ とおいて、 φ(θ) = cos^{3} θ + 8 sin^{3} θ の最大値・最小値を求めてもよい (が、結構大変)。

6 [10] f(x, y, t) = x cos t + y sin t − p とおくと、 f_{t} = −x sin t + y cos t. よって、 f = 0, f_{t} = 0 を連立させて t を消去することで、 x^{2} + y^{2} = p^{2} を得る。ところで、 f_{x} = cos t, f_{y} = sin t であるから特異点は存在しないので、求める包絡線は x^{2} + y^{2} = p^{2} となる。

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。より詳しくは直接質問に来ること。尚、 [ ] 内はその問題の配点で、満点は 80 点である。

2本来はこのままでは z_{xx} が求まったといえないが、極値問題の場合 z_{x} = z_{y} = 0 を後で代入するのでこの形にとどめる。 z_{xy}, z_{yy} についても同様。

3この方程式が解けた者はいなかった。 a = 0 や b = 0 の場合もあることを忘れている。