微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2006 年 11 月 28 日の試験の解答の要点^{1}

1 [5] x = 1 + r cos θ, y = r sin θ とおくと、 (x, y) → (0, 0) と r → 0 は同値となる。\frac{x^{2}+y^{2}+3x−4y−4}{\sqrt{(x−1)^{2}+y^{2}}} =

r + 5 cos θ − 4 sin θ → 5 cos θ − 4 sin θ (r → 0) となるが、これは θ ごとに異なる値となるから極限は存在しない。

2 [8+7] (1) 連続性: x = r cos θ, y = r sin θ とおくと^{2}、 (x, y) → (0, 0) と r → 0 は同値となる。 0 ≤ \sqrt{|xy|} = r\sqrt{| cos θ sin θ|} ≤ r → 0 (r → 0) より lim_{(x,y)→(0,0)}f(x, y) = 0 = f(0, 0) であるから連続である。

偏微分可能性: f_{x}(0, 0) = lim_{h→0} \frac{f(h,0)−f(0,0)}{h} = 0, f_{y}(0, 0) = lim_{k→0} \frac{f(0,k)−f(0,0)}{k} = 0 より偏微分可能。

(2) ε(0, 0, h, k) = f(h, k) − f(0, 0) − hf_{x}(0, 0) − kf_{y}(0, 0) = \sqrt{|hk|} に対して、 lim_{(h,k)→(0,0)} \frac{ε(0,0,h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} = 0 が

存在しないことを示せばよい。このため、 h = r cos θ, k = r sin θ とおくと、 (h, k) → (0, 0) と r → 0 は同

値。しかし、\frac{ε(0,0,h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} = \sqrt{| cos θ sin θ|} となり、 θ ごとに異なる値となる。これは lim_{(h,k)→(0,0)} \frac{ε(0,0,h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} が存

在しないことを示している。

3 [15] z_{x} = 2x + y, z_{y} = x − 3y^{2}. よって、接平面の方程式は z − 1 = 3(x − 1) − 2(y − 1) となる。この平面に直交する方向ベクトルは (3, −2, −1) であるから、直線の方程式は x = 6 + 3t, y = 2 − 2t, z = −t となる。接平面の方程式に直線の方程式を代入し −t − 1 = 3(6 + 3t − 1) − 2(2 − 2t − 1) を解くと t = −1 となるから、接平面と直線と交点は (3, 4, 1) である。よって、距離は\sqrt{(6 − 3)^{2} + (2 − 4)^{2} + (0 − 1)^{2}} = \sqrt{14}.

4 [10] z_{x} = \frac{1}{\sqrt{4πt}}e^{− \frac{x^{2}}{4t}} (−\frac{x}{2t}) より、 z_{xx} = \frac{1}{\sqrt{4πt}}e^{− \frac{x^{2}}{4t}} (−\frac{x}{2t})^{2} − \frac{1}{\sqrt{4πt}}e^{− \frac{x^{2}}{4t}} \frac{1}{2t} = \frac{1}{\sqrt{4πt}}e^{− \frac{x^{2}}{4t}} (\frac{x^{2}}{4t^{2}} − \frac{1}{2t}).

z_{t} = \frac{1}{\sqrt{4πt}} (−\frac{1}{2}t^{− \frac{3}{2}} ) e^{− \frac{x^{2}}{4t}} + \frac{1}{\sqrt{4πt}}e^{− \frac{x^{2}}{4t}} \frac{x^{2}}{4t^{2}} = \frac{1}{\sqrt{4πt}}e^{− \frac{x^{2}}{4t}} (\frac{x^{2}}{4t^{2}} − \frac{1}{2t}). よって、 z_{t} = z_{xx}. ^{3}

5 [5] g(x, y) = f(x, y, x) とすれば g(x, y) は C^{n} 級であるからその n 次偏導関数は偏微分する順にはよらない。よって、 x, y から重複を許し n 個選ぶ方法である。これは n 個を 2 つに分ける (0 個も許す) 方法、例えば\frac{∂^{n}f}{∂x∂y^{n−1}} であれば○｜○○…○と見なせることに注意すると、 n 次偏導関数の個数は「○を n 個」「｜

を 1 つ」の同じものを含む順列に等しいので、\frac{(n+1)!}{n!1!} = n + 1 通りとなる。^{4}

6 [20] (1) \frac{∂w}{∂x} = \frac{2x}{1+(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}} , \frac{∂w}{∂y} = \frac{2y}{1+(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}} , \frac{∂w}{∂z} = \frac{2z}{1+(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}} , \frac{dx}{dt} = −a sin t, \frac{dy}{dt} = a cos t,

\frac{dz}{dt} = h より、\frac{dw}{dt} = \frac{∂w}{∂x} \frac{dx}{dt} + \frac{∂w}{∂y} \frac{dy}{dt} + \frac{∂w}{∂z} \frac{dz}{dt} = \frac{2h^{2}t}{1+(a^{2}+h^{2}t^{2})^{2}} . (減点理由は脚注を見てください。^{5}^{6})

(2) z_{u} = z_{x}x_{u} + z_{y}y_{u} = y \frac{v}{\sqrt{1−(uv)^{2}}} + x(−\frac{v}{\sqrt{1−(uv)^{2}}} ) = \frac{v}{\sqrt{1−(uv)^{2}}} (Arccos uv − Arcsin uv).

7 [10] x^{3}y^{2} の係数は\frac{1}{5!} \binom{5}{3} \frac{∂^{5}f}{∂x^{3}∂y^{2}} (0, 0) であるから、\frac{∂^{5}f}{∂x^{3}∂y^{2}} (x, y) = 2^{3}e^{2x}3^{2}(− cos 3y) より、 −\frac{1}{2!3!}2^{3}3^{2} = −6.

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。より詳しくは直接質問に来ること。尚、 [ ] 内はその問題の配点で、満点は 80 点である。

2問題 1 では x − 1 = r cos θ, y = r sin θ とおき極限が θ ごとに違う値となることを示せばよかった。しかし、この問題において x = r cos θ, y = r sin θ とおき、すべての θ で r → 0 のときの極限が 0 であるから、その極限は 0 とするのは誤りである。実際、 f(x, y) = 0 (|y| ≥ x^{2} または y = 0), f(x, y) = 1 (そのほか) とおくと、すべての θ で f(r cos θ, r sin θ) → 0 (r → 0) であるが、 lim_{t→0} f(t, \frac{t^{2}}{2} ) = 1 となり、 lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) は存在しない。 lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) = 0 を示すためには、解答のように lim_{r→0} φ(r) = 0 をみたす関数 φ(r) を用いて |f(r cos θ, r sin θ)| ≤ φ(r) となること示さなければならない。 (この問題の場合は「(x, y) → (0, 0) ならば\underline{x → 0 かつ y → 0 であるから} \sqrt{|xy|} → 0 = f(0, 0) となり連続」と述べれば正解である。ただ、下線部が書かれた解答はありませんでした。 )

3これは熱伝導を表す偏微分方程式である。\sqrt{4π} の理由は ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{4πt}} e^{− \frac{x2}{4t}} dx = 1 とするためである (cf . 教科書 p.263 例 1)。 4この問題は、 f(x, y, z) について出題しようとして出題ミスをしたのである。一応、 3 変数の場合の答えを書いておく (2 変数の場合とまったく同じであるが)。

C^{n} 級であるからその n 次偏導関数は偏微分する順にはよらない。よって、 x, y, z から重複を許し n 個選ぶ方法である。これは n 個を 3 つに分ける (0 個も許す) 方法、例えば\frac{∂^{n}f}{∂x∂y∂z^{n−2}} であれば○｜○｜○○…○と見なせることに注意すると、 n 次偏導関数の個数は「○を n 個」「｜を 2 つ」の同じものを含む順列に等しいので、\frac{(n+2)!}{n!2!} = \frac{1}{2} (n + 2)(n + 1) 通りとなる。

5通常、このような計算では最後に x, y, z を代入し、 t の式で書くのが普通である。 (教科書の解答を見てもあえてそのまま残す場合は書いた式の後に (z = …) と書かれている。 ) 特に、この問題では代入後の式が大幅に簡略化されるため、代入していない答えは 4 点減点した。 (2) の場合、簡略化されるという訳ではないので、減点は 2 点とした。尚、前回の授業で扱った陰関数の場合は例えば\frac{dy}{dx} の答を x と y の式で表しても構わない (一般に x だけの式では表せない)。

6 \frac{∂}{∂x} と\frac{d}{dx} の誤用は 1 箇所につき 1 点減点した。