微分積分学 AD I, 数学序論演習 I  テスト (5 回目)  出題日 2006 年 8 月 1 日

• 解答用紙は裏面も使用してください。名前と学籍番号は提出するすべての解答用紙に記入してください。 8 月 4 日 (金)14:40–15:00 複合棟 412 室にて答案用紙を返却します。返却を希望する学生は取に来てください。

1. 次の不定積分を求めよ。

(1) \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} (2) \frac{x − 1}{\sqrt{4x − 3 − x^{2}}}

2. 次の定積分を求めよ。（広義積分も含まれる。注意せよ。）

(1) ∫_{1}^{2}(x − 1)\sqrt{2x − x^{2}} dx  (2) ∫_{0}^{1} x(Arctan x)^{2} dx  (3) ∫_{−2}^{0} \frac{dx}{\sqrt[3]{x + 2}}

(4) ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{x(1 + x^{2})} (5) ∫_{0}^{π/4} log (1 + tan x) dx

(ヒント: (5) は t = \frac{π}{4} − x と置換せよ。 )

3. 次の広義積分が収束することを示せ。ただし、定数 α > 0 に対する広義積分 ∫_{0}^{1} \frac{1}{x^{α}} dx や ∫_{1}^{∞} \frac{1}{x^{α}} dx の収束・発散の結果は証明なしで用いても構わない。

(1) ∫_{1}^{∞} \frac{sin x}{1 + x^{2}} dx  (2) ∫_{0}^{1} \frac{sin x}{x^{3/2}} dx  (3) ∫_{1}^{∞} sin (x^{4}) dx

(ヒント: (3) は (cos (x^{4}))′ を計算し、 ∫_{1}^{M} sin (x^{4}) dx (M > 1) を部分積分せよ。 )

4. 次の極座標で表示された曲線の長さを求めよ。

r = 2 sin^{3} \frac{θ}{3} (0 ≤ θ ≤ 3π)

5. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}} \{(3n^{2} + 1)(3n^{2} + 2^{2}) ⋯ (3n^{2} + (n − 1)^{2})(4n^{2})\}^{1/n}

(ヒント: 対数をとって考えよ。 )

(2) lim_{x→+0} \frac{1}{x^{3}} ∫_{0}^{x^{2}} sin \sqrt{t} dt

6. f(x) は C^{1} 級とし、 φ(x) = ∫_{0}^{1} tf′(x − t) dt とおく。 φ′(x) を求めよ。