微分積分学 AD I, 数学序論演習 I  テスト (4 回目)  出題日 2006 年 7 月 11 日

• 解答用紙は裏面も使用してください。名前と学籍番号は提出するすべての解答用紙に記入してください。

1. 次の不定積分を求めよ。

(1) x^{2} Arccos x (2) \frac{x^{4}}{x^{2} + 1} (3) \frac{cos x}{sin x(1 + cos x)}

(4) \frac{cos^{2} x}{3 + sin^{2} x} (5) \frac{1}{x(x^{2} + 1)^{2}}

2. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→0} (\frac{1}{sin^{2} x} − \frac{1}{x^{2}} ) (2) lim_{n→∞} cos^{n} \frac{x}{\sqrt{n}}

3. f(x) = Arcsin x について、次を問いに答えよ。

(1) (1 − x^{2})f^{(n+1)}(x) − (2n − 1)xf^{(n)}(x) − (n − 1)^{2}f^{(n−1)}(x) = 0 (n ∈ N) を示せ。

(ヒント: n = 1 の場合をまず示し、その両辺を n − 1 回微分せよ。 )

(2) |x| が小さいとき、 Arcsin x を x の 5 次式で近似せよ。

4. f ∈ C^{3}[a, b] のとき、次をみたす c (a < c < b) があることを示せ。

f(b) = f(a) + \frac{1}{2}(b − a)\{f′(a) + f′(b)\} − \frac{(b − a)^{3}}{12} f′′′(c)

(ヒント: F (x) = f(x) − [f(a) + \frac{1}{2}(x − a)\{f′(a) + f′(x)\}] + K(x − a)^{3} とおき、

Taylor の公式を用いよ。ただし、 K は F (b) = 0 となるように定めよ。 )

5. 次を問いに答えよ。

(1) x − Arctan x は x → 0 のとき x に対して何位の無限小か？

(2) 任意の α > 0 に対し、 x → ∞ のとき (log x)^{100} = o(x^{α}) を証明せよ。

6. f(0) = 1, x > 0 で f′(x) ≥ cf(x) (c > 0) ならば f(x) ≥ e^{cx} (x > 0) であることを証明せよ。ただし、 f(x) は x ≥ 0 で微分可能とする。

7. 関数 y = x^{2} log x の極値、変曲点などを調べグラフをかけ。