微分積分学 AD I, 数学序論演習 I  テスト (3 回目)  出題日 2006 年 6 月 20 日

• 解答用紙は裏面も使用してください。名前と学籍番号は提出するすべての解答用紙に記入してください。

1. (1) Arccos(−\frac{1}{2}), Arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}} · \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} · \frac{\sqrt{3}}{2}) を求めよ。

(2) 4 Arctan \frac{1}{5} − Arctan \frac{1}{239} = \frac{π}{4} を示せ。

2. 次の関数を微分せよ。

(1) x^{Arccos x} (2) Arcsin(2x\sqrt{1 − x^{2}})

3. 次の関数の n 次導関数を求めよ。

(1) x^{2}e^{3x}  (2) sin^{3} x  (3) \frac{x}{x^{2} + 3x + 2}  (4) x^{n−1} log x

(ヒント: (4) (x^{n−1} log x)^{(n)} = (n − 1)!/x です。証明せよ。 )

4. P_{n}(x) = \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{2} − 1)^{n} に対し、以下を示せ。

(x^{2} − 1)P′′_{n}(x) + 2xP′_{n}(x) − n(n + 1)P_{n}(x) = 0

(ヒント: z = (x^{2} − 1)^{n} とおき (x^{2} − 1)z′ = 2nxz を導き、その両辺を n + 1 回微分せよ。 )

5. Arctan x + Arctan \frac{1}{x} = \{ \begin{matrix}π/2 & (x > 0) \\ −π/2 & (x < 0) \end{matrix} を示せ。 (ヒント: 平均値の定理を用いよ。 )

6. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→0} \frac{x − Arctan x}{x^{3}} (2) lim_{x→0} (\frac{1}{x} − \frac{1}{log(x + 1)})

(3) lim_{x→0} (\frac{sin x}{x})^{1/x^{2}} (4) lim_{x→ \frac{π}{2} +0} \frac{log(x − \frac{π}{2})}{tan x}

7. 数列 {c_{n}} は、 c_{n} > 0 (n ∈ N) で {nc_{n}} は収束し lim_{n→∞} nc_{n} = α であるとする。このとき、次で定義される関数 f(x) は x = 0 で右側微分可能で、 f′_{+}(0) = α となることを示せ。

f(x) = \{ \begin{matrix}c_{n} & (\frac{1}{n + 1} < x ≤ \frac{1}{n} : n = 1, 2, …) \\ 0 & (x = 0) \end{matrix}