微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト２回目出題日 2006 年 5 月 30 日

1. lim_{x→a} f(x) = α, α > 0 とする。

(1) ある δ_{1} > 0 が存在して、「0 < |x − a| < δ_{1} ⟹ f(x) > \frac{α}{2} 」となることを示せ。

(2) lim_{x→a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{α} を示せ。 (ε-δ 論法を用いよ。 )

2. 次の極限値を求めよ。ただし、 lim_{t→0} \frac{sin t}{t} = 1, lim_{t→0}(1 + t)^{1/t} = e は既知とする。

(1) lim_{x→0} \frac{(2 + x)^{1/2} − (2 − x)^{1/2}}{(1 + 2x)^{1/3} − 1} (2) lim_{x→−1−0} \frac{x^{2} + 3x + 2}{|x + 1|}

(3) lim_{x→0} \frac{sin(cos x − 1)}{x^{2}} (4) lim_{x→0}(1 − 2x + x^{2})^{1/x}

(5) lim_{x→−∞}(2^{x} + 3^{x} + 4^{x})^{1/x} (6) lim_{x→−∞} x (x + \sqrt{x^{2} + 3})

3. (1) 中間値定理を述べよ。 (証明は書く必要ありません。 )

(2) (0, ∞) で方程式 x tan x = 1 の根について次を示せ。ただし、各 n = 0, 1, 2, … に対し、 [nπ, nπ + π/2) 上で x tan x や tan x が狭義単調増加な連続関数であることは既知とする。

(a) 区間 (nπ, nπ + π/3) (n = 0, 1, 2, …) に根が１つずつある。

(b) (nπ, nπ + π/3) にある根を x_{n} = nπ + α_{n} とおくと {α_{n}} は次をみたす。

(イ) \frac{π}{2} > α_{0} > α_{1} > ⋯ > α_{n} > ⋯ (ロ) lim_{n→∞} α_{n} = 0

4. 関数 f(x) = \frac{1}{x^{2}} が (0, 1] で一様連続でないことを示せ。

5. a_{1} = 1, a_{n+1} = \frac{1}{2 + a_{n}} (n ≥ 1) によって定義される数列について以下を解け。

(1) \frac{1}{3} ≤ a_{n} ≤ 1 (n ≥ 1) を示し、これを用いて

|a_{n+1} − a_{n}| ≤ \frac{9}{16}|a_{n} − a_{n−1}| (n ≥ 2)

を示せ。

(2) {a_{n}} が Cauchy 列であることを示し (よって {a_{n}} は収束列)、 lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。