微分積分学 AD I, 数学序論演習 I テスト出題日 2006 年 5 月 9 日

1. (1) log_{2} 3 が無理数であることを示せ。

(ヒント: log_{2} 3 が有理数、即ち、自然数 p, q により log_{2} 3 = \frac{p}{q} と表せたとして矛盾を導け。 )

(2) A = [0, log_{2} 3] ∩ Q とおくとき、 max A が存在しないことを証明せよ。

2. lim_{n→∞}(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}) = 0 を ε-n_{0} 論法で証明せよ。

3. (1) {a_{n}} が α に収束するとき、 lim_{n→∞} a_{n−1} = α を示せ。

(2) e の定義 lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e から、 lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n})^{n} = \frac{1}{e} を導け。

4. 数列 {a_{n}}, {b_{n}} は収束し、 lim_{n→∞} a_{n} = α, lim_{n→∞} b_{n} = β とする。

(1) {a_{n}} が有界であることを示せ。

(2) lim_{n→∞} a_{n}b_{n} = αβ を示せ。 (ε-n_{0} 論法を用いよ。 )

5. 「はさみうち」を利用して次を示せ。

(1) lim_{n→∞} \frac{n}{2^{n}} = 0 (ヒント: (1 + 1)^{n} に二項定理を用いよ。 )

(2) lim_{n→∞}(1 + 2^{n} + 3^{n})^{1/n} = 3 (注意: lim_{n→∞} a^{\frac{1}{n}} = 1 (a > 0) は既知としてよい。 )

6. a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n+1} = \frac{1}{4}(a_{n}^{2} + 2) (n ≥ 1) によって数列 \{a_{n}\} を定める。

(1) {a_{n}} が有界な単調増加列であることを示せ。

(2) lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。