微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2006 年 5 月 9 日の試験の解答の要点^{1}

1 [10] (1) log_{2} 3 が有理数と仮定すると、自然数 p, q がとれて log_{2} 3 = p/q とできる。このとき、 3^{q} = 2^{p} となり、左辺は偶数、右辺は奇数となり矛盾する。

(2) max A が存在するとし、それを a とする。このとき、 a ∈ A で (1) より log_{2} 3 は無理数だから a < log_{2} 3 となる。よって、\underline{有理数の稠密性}により a < r < log_{2} 3 となる有理数 r が存在する^{2}。このとき、 r ∈ A となり、これは max A = a より「x ∈ A ⇒ x ≤ a」に矛盾する。

2 [5] まず、 0 ≤ \sqrt{n + 1} − \sqrt{n} = 1/(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) ≤ 1/(2\sqrt{n}) に注意する。 ε > 0 を任意にとる。アルキメデスの公理により n_{0} > (1/2ε)^{2} となる n_{0} ∈ N がとれる。このとき、 n ≥ n_{0} ならば |\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}| ≤ 1/(2\sqrt{n_{0}}) < ε となり、 lim_{n→∞}(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}) = 0 が示された。

3 [10] (1) ε > 0 を任意にとる。仮定よりある n_{1} ∈ N がとれて、 n ≥ n_{1} ⇒ |a_{n} − α| < ε となる。よって、

n_{0} = n_{1} + 1 とおくと、 n ≥ n_{0} ならば n − 1 ≥ n_{1} であるから |a_{n−1} − α| < ε となり、 lim_{n→∞} a_{n−1} = α が示

された。

(2) (1 − \frac{1}{n})^{n} = \frac{1}{( \frac{n}{n−1} )^{n}} = \frac{1}{(1+ \frac{1}{n−1} )^{n}} = \frac{1+ \frac{1}{n−1}}{(1+ \frac{1}{n−1} )^{n−1}} → \frac{1+0}{e} = \frac{1}{e}.

ここで、 lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n} = e に (1) を用いると、 lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n−1})^{n−1} = e となることを用いた。

4 [10] (1) lim_{n→∞} a_{n} = α より、ある n_{1} ∈ N がとれて、 n ≥ n_{1} ならば |a_{n} − α| < 1, 即ち、 |a_{n}| < |a| + 1

となる。従って、 L = max{|a_{1}|, |a_{2}|, …, |a_{n_{1}}|, |α| + 1} とおくと、すべての n ∈ N に対して |a_{n}| ≤ L を得る。

(2) |a_{n}b_{n} − αβ| = |a_{n}(b_{n} − β) + (a_{n} − α)β| ≤ |a_{n}||b_{n} − β| + |a_{n} − α||β| に注意する。 ε > 0 を任意にとる。 (1) よりある L > 0 が存在して |a_{n}| ≤ L となる。

lim_{n→∞} b_{n} = β より、ある n_{2} ∈ N がとれて、 n ≥ n_{2} ならば |b_{n} − β| < \frac{ε}{2L} で、

lim_{n→∞} a_{n} = α より、ある n_{3} ∈ N がとれて、 n ≥ n_{3} ならば |a_{n} − α| < \frac{ε}{2(|β|+1)} となる。

よって、 n_{0} = max\{n_{2}, n_{3}\} とおけば、 n ≥ n_{0} のとき、 |a_{n}b_{n} − αβ| < L\frac{ε}{2L} + \frac{ε}{2(|β|+1)}|β| < ε を得る。

5 [10] (1) n ≥ 2 とする。二項定理より 2^{n} = (1 + 1)^{n} > n + \frac{n(n−1)}{2} であるから 0 < \frac{n}{2^{n}} < \frac{2}{n−1} を得る。よって\frac{2}{n−1} → 0 (n → ∞) より「はさみうち」により与式が成立する。

(2) 3^{n} ≤ 1 + 2^{n} + 3^{n} ≤ 3 · 3^{n} より 3 ≤ (1 + 2^{n} + 3^{n})^{1/n} ≤ 3^{1/n} · 3. lim_{n→∞} 3^{1/n} = 1 より 3^{1/n} · 3 → 3.

よって、「はさみうち」により与式は成立する。

6 [10] (1) 0 ≤ a_{n} ≤ 1, a_{n} ≤ a_{n+1} (n ≥ 1) を証明すればよい。 (数学的帰納法により容易に示せるので証明は略す。 )

(2) \{a_{n}\} は有界な増加列より収束する。 α = lim_{n→∞}a_{n} とおくと、与式で n → ∞ とすると α = \frac{1}{4}(α^{2} + 2).

これを解くと α = 2 ± \sqrt{2}. 0 ≤ a_{n} ≤ 1 より 0 ≤ α ≤ 1. よって α = 2 − \sqrt{2} を得る。

平均 11.06 点、標準偏差 10.45 点でした。^{3}

1注意この「試験の解答の要点」は解答の要点である。そのままの答えでは完全な解答とは言えない。より詳しくは直接質問に来ること。尚、 [ ] 内はその問題の配点で、満点は 55 点である。

2 「有理数の稠密性」に言及していない解答は減点した。 3ちなみに偏差値は [50 + (自分の得点− 平均点)/標準偏差] で得られます。