微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2006 年 6 月 6 日^{1}^{2}

2-3 平均値の定理

29. 平均値の定理を用いて次を示せ。

(1) Arcsin x + Arccos x = \frac{π}{2} (−1 ≤ x ≤ 1) (2) Arctan x + Arctan \frac{1}{x} = \{ \begin{matrix}π/2 & (x > 0) \\ −π/2 & (x < 0) \end{matrix}

(3) Arccos(sin x) = \frac{π}{2} − x (|x| ≤ \frac{π}{2} ) (4) Arccos \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} = Arctan x (x > 0)

(5) Arcsin \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = Arctan x x ∈ R (6) tan (\frac{1}{2} Arcsin x) = \frac{\sqrt{1 + x} − \sqrt{1 − x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 − x}} (−1 ≤ x ≤ 1)

30. 次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→π/2−0} \frac{log (\frac{π}{2} − x)}{tan x}  (2) lim_{x→∞} (\frac{π}{2} − Arctan x)^{\frac{1}{x}}  (3) lim_{x→∞} x (\frac{π}{2} − Arctan x)

2-4 Taylor の定理

31. Taylor の公式 (または Maclaurin の公式) を使って、次の極限値を求めよ。

(1) lim_{x→0} \frac{\sqrt{1 + x} − 1 − x/2}{x^{2}}  (2) lim_{x→0} \frac{e^{x} − e^{−x} − 2x}{x − sin x}  (3) lim_{x→0} (\frac{1}{x^{2}} − \frac{1}{sin^{2} x})

32. 関数 f(x) = \{ \begin{matrix}e^{−1/x} & (x > 0) \\ 0 & (x ≤ 0) \end{matrix} は R で C^{∞} であり、すべての n = 0, 1, 2, … について f^{(n)}(0) = 0 と

なることを証明せよ。

(注意: これより関数が C^{∞} 級だからといって必ずしも Taylor 展開できないことがわかる。実際、この

f(x) が x = のまわりに Taylor 展開できたとすると f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} ≡ 0 となり矛盾する。 )

2-5 関数の増減, 2-6 関数の近似, 2-7 凸関数

33. x → 0 のとき e^{x} − \frac{1 − ax}{1 + ax} の x に対する位数ができるだけ大きくなるように a に値を定めよ。

34. 次を示せ。

(1) f(x) = x^{n} + ax^{n−1} + ⋯, g(x) = x^{m} + bx^{m−1} + ⋯ をそれぞれ n 次, m 次の多項式とすると、

lim_{x→∞}( \sqrt[n]{f(x)} − \sqrt[m]{g(x)}) = \frac{a}{n} − \frac{b}{m}.

(2) lim_{n→∞} cos^{n} \frac{x}{\sqrt{n}} = e^{−x^{2}/2} .

35. 関数 f(x) = x^{1/x} (x > 0) の増減を調べることにより、次の不等式を導け。

(1) \sqrt[n]{n} < \sqrt[3]{3}  (2) m^{n} < n^{m}  (3 < n < m で m, n は整数とする。 )

36. 曲線 y = f(x) 上の点 P から直線 ℓ におろした垂線の足を H とする。\overline{OP} → ∞ のとき、\overline{P H} → 0 であれば ℓ を漸近線という。直線 y = ax+b が漸近線ならば、 |x| → ∞ のとき、 f(x)/x → a かつ (f(x)−ax) → b であることを示せ。逆に、この関係によって a, b が決まるならば、 y = ax + b は漸近線であることを示せ。

37. 次の関数のグラフを描け。^{3}

(1) y = \frac{x^{3}}{x^{2} − 1}  (2) y = x log x  (3) y = x^{2} log x  (4) y = x\sqrt{\frac{1 + x}{1 − x}}

1杉浦のホームページ ( http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/˜ sugiura/index.html ) からもダウンロードできます。 2略解: 29 略 30 (1) 0 (2) 1 (3) 1 31 (1) −1/8 (2) 2 (3) −1/3 32 略 33 a = −1/2 34–37 略 3曲線のグラフを描くには次のことを調べよ。 1. グラフが通る点、特に座標軸を切る点。 2. グラフの存在する範囲。 3. 直線、点に関する対称性、特に両座標軸・原点についての対称性。 4. 関数の増減と極大・極小。 5. グラフの凹凸。 6. 漸近線