微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2006 年 5 月 26 日^{1}

2 微分とその応用 2-1 微分係数, 導関数の補足問題^{2}

20. 次の関数について、 f′_{+}(0), f′_{−}(0), f′(0) が存在するか。存在すればそれを求めよ。 (a, b は定数。 )

(1) f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} & (x ≥ 0) \\ −x & (x < 0) \end{matrix}  (2) f(x) = \{ \begin{matrix}e^{−1/x^{2}} & (x ≠ 0) \\ 0 & (x = 0) \end{matrix}  (3) f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} cos \frac{1}{x} & (x > 0) \\ 0 & (x ≤ 0) \end{matrix}

(4) f(x) = |x| − sin |x| (5) f(x) = \{ \begin{matrix}\sqrt{2x + 1} & (x ≥ 0) \\ ax^{2} + bx + 1 & (x < 0) \end{matrix}

21. 次の関数の導関数を求めよ。

(1) Arccos(sin x) (2) Arcsin(cos x) (3) Arctan x + Arctan \frac{1}{x}

(4) Arcsin(2x\sqrt{1 − x^{2}}) (5) Arctan \sqrt{\frac{1 − cos x}{1 + cos x}}

22. 数列 {c_{n}} に対して、次で定義される関数 f(x) が x = 0 で右微分可能となるための条件は、数列 {nc_{n}}

が収束することであることを示せ。

f(x) = \{ \begin{matrix}c_{n} & (\frac{1}{n + 1} < x ≤ \frac{1}{n} : n = 1, 2, …) \\ 0 & (x = 0) \end{matrix}

2-2 高次導関数の補足問題^{3}

23. f(x) = Arcsin x のとき、次を示せ。 (cf . p.54 問 3)

(1) (1 − x^{2})f^{(n+1)}(x) − (2n − 1)xf^{(n)}(x) − (n − 1)^{2}f^{(n−1)}(x) = 0 (n ∈ N)

(2) f^{(2m)}(0) = 0, f^{(2m+1)}(x) = 1^{2} · 3^{2} · 5^{2} · · · · · (2m − 1)^{2}

24. H_{n}(x) = (−1)^{n}e^{x^{2}/2} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (e^{−x^{2}/2}) に対し、以下を示せ。 (cf . p.53 例 2)

(1) H_{n+1}(x) = xH_{n}(x) − nH_{n−1}(x) (これによって、 H_{n}(x) が n 次多項式であることがわかる。これを Hermite 多項式と呼ぶ。 )

(2) H′_{n}(x) = nH_{n−1}(x)

(3) H′′_{n}(x) − xH′_{n}(x) + nH_{n}(x) = 0 (Hermite の微分方程式)

25. L_{n}(x) = e^{x} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{n}e^{−x}) に対し、以下を示せ。 (cf . p.55 3)

(1) L_{n}(x) は n 次多項式である。 (Laguerre の多項式)

(2) xL′′_{n}(x) + (1 − x)L′_{n}(x) + nL_{n}(x) = 0 (Laguerre の微分方程式)

26. y = Arctan x に対し、\frac{d^{n}y}{dx^{n}} = (n − 1)! cos^{n} y sin (ny + \frac{nπ}{2} ) (n = 1, 2, …) を示せ。

27. x = φ(t), y = ψ(t) に対し、 φ′(t) ≠ 0 のとき、次の式を導け。

\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{φ′(t)ψ′′(t) − φ′′(t)ψ′(t)}{\{φ′(t)\}^{3}}

28. 次の媒介変数表示の関数から d^{2}y/dx^{2} を求めよ。 (a, b > 0 とする。 )

(1) x = a cos t, y = b sin t (2) x = a cos^{3} t, y = b sin^{3} t

1杉浦のホームページ ( http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/˜ sugiura/index.html ) からもダウンロードできます。 2略解: 20 f′_{+}(0), f′_{−}(0), f′(0) の順に (1) 2, −1, なし (2) 0, 0, 0 (3) 0, 0, 0 (4) 0, 0, 0 (5) 1, b, b = 1 のときのみ存在し 1 21 (1) − \frac{cos x}{| cos x|} (2) \frac{sin x}{| sin x|} (3) 0 (4) \frac{2(1−2x^{2})}{|1−2x^{2}|\sqrt{1−x^{2}}} (5) 1/2 (x > 0), −1/2 (x < 0) 22 略

3略解: 23–27 略 28 (1) \frac{b}{a^{2}} sin^{3} t (2) \frac{b}{3a^{2} cos^{4} t sin t}