微分積分学 AD I, 数学序論演習 I 2006 年 4 月 21 日

1-1 実数と数列の補足問題 (続き)

2. A ⊂ R を空でない有界な集合とする。 B = { −x; x ∈ A } とおくとき、

sup B = − inf A, inf B = − sup A

を証明せよ。

3. A を開区間 (0, ∞) に含まれる空でない有界な部分集合とし B = \{ \frac{1}{x} ; x ∈ A \} とおく。このとき、

sup B = \frac{1}{inf A}, inf B = \frac{1}{sup A}

を証明せよ。ただし、 B が上に有界でないときは sup B = ∞ とすることとし、\frac{1}{0} = ∞, \frac{1}{∞} = 0 と約束する。

4. 次を ε-n_{0} 論法で示せ。

(1) lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}} = 0.  (2) lim_{n→∞} \sqrt{n} = ∞.  (3) lim_{n→∞} \frac{n!}{n^{n}} = 0.

5. 数列 \{a_{n}\} について、 a_{n} > 0 (n ∈ N) かつ lim_{n→∞} a_{n} = 0 となるとき、 lim_{n→∞} \frac{1}{a_{n}} = ∞ を示せ。

6. 数列 {a_{n}} に対し、 lim_{n→∞} a_{2n} = α かつ lim_{n→∞} a_{2n−1} = α ならば、 lim_{n→∞} a_{n} = α となることを示せ。

7. (1) x, y ∈ R に対し (|x| − |y|)^{2} ≤ (x − y)^{2} を示し、||x| − |y|| ≤ |x − y| を示せ。

(2) lim_{n→∞} a_{n} = α ならば lim_{n→∞} |a_{n}| = |α| を示せ。

8. (1) x, y ∈ R に対し次を示せ。

(i) max\{x, y\} = \frac{(x + y) + |x − y|}{2} (ii) min\{x, y\} = \frac{(x + y) − |x − y|}{2}

(2) lim_{n→∞} a_{n} = α, lim_{n→∞} b_{n} = β のとき、次を示せ。

(i) lim_{n→∞} max{a_{n}, b_{n}} = max{α, β}, (ii) lim_{n→∞} max{a_{n}, b_{n}} = max{α, β}.

9. a_{n+1} = \frac{1}{3} (a_{n}^{2} + 2) によって定義される数列 \{a_{n}\} を考える。

(1) 0 < a_{1} < 1 のとき {a_{n}} が上に有界な単調増加数列であることを示し lim_{n→∞} a_{n} = 1 を示せ。

(2) a_{1} > 1 の場合どうなるか考察せよ。 (ヒント： 1 < a_{1} < 2, a_{1} = 2, a_{1} > 2 と場合わけせよ。 )

10. a_{1} > 0, a_{n+1} = \frac{1}{a_{1} + ⋯ + a_{n}} (n ∈ N) とする。 \{a_{n}\} が下に有界な単調減少数列であることを示し lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。

11. (1) 数列 {a_{n}} に対し次の定数 c, 0 ≤ c < 1, の存在を仮定する。

∀n ≥ 2 に対し |a_{n+1} − a_{n}| ≤ c|a_{n} − a_{n−1}|

このとき、 {a_{n}} が Cauchy 列であることを証明せよ。

(2) 次の数列 {a_{n}} が Cauchy 列であることを示し lim_{n→∞} a_{n} を求めよ。

(i) a_{1} = 1, a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_{n} + 1}  (n ∈ N)  (ii) a_{1} ≥ 0, a_{n+1} = \sqrt{a_{n} + 1}  (n ∈ N)